计算一般矩阵最大特征值的最快方法是什么？

编辑：我正在测试是否任何特征值具有一个或更大的幅度。

我需要找到一个大型的稀疏，非对称矩阵的最大绝对特征值。

我一直在使用R eigen()函数，该函数使用EISPACK或LAPACK中的QR算法查找所有特征值，然后使用它abs()来获取绝对值。但是，我需要做得更快。

我也尝试过在igraphR包中使用ARPACK接口。但是，它给了我的一个矩阵一个错误。

最终实现必须可以从R访问。

可能会有多个相同大小的特征值。

你有什么建议吗？

编辑： 精度只需要是1e-11。到目前为止，“典型”矩阵是。我已经能够对此进行QR分解。但是，也可以有更大的对象。我目前开始阅读有关Arnoldi算法的信息。我了解这与Lanczsos有关。$386\times 386$

EDIT2：如果我有多个矩阵正在“测试”，并且我知道有一个不变的大子矩阵。是否可以忽略/丢弃它？

它在很大程度上取决于矩阵的大小，在大规模情况下，还取决于矩阵是否稀疏以及要达到的精度。

如果矩阵太大而不能进行单个分解，并且需要高精度，则Lanczsos算法可能是最快的方法。在非对称情况下，需要Arnoldi算法，该算法在数值上是不稳定的，因此需要一种实现方式来解决（解决起来有些尴尬）。

如果您的问题不是这种情况，请在问题中提供更多具体信息。然后在此答案中添加评论，我将对其进行更新。

编辑：[这是问题的旧版本，最大的特征值。]由于您的矩阵很小且表面上很稠密，因此我将使用初始值对B =（IA）^ {-1}进行Arnoldi迭代进行IA的置换三角分解以使其便宜地乘以B。（或计算一个显式逆，但这代价是分解的3倍。）您想测试B是否具有负特征值。使用B代替A可以更好地分离负特征值，因此，如果有一个，您应该迅速收敛。

但是我很好奇您的问题来自哪里。非对称矩阵通常具有复杂的特征值，因此“最大”甚至没有明确定义。因此，您必须对自己的问题有更多的了解，这可能有助于建议如何更快，更可靠地解决它。

Edit2：用Arnoldi很难获得感兴趣的特定子集。为了可靠地获得绝对最大的特征值，您需要使用原始矩阵进行子空间迭代，并且子空间的大小应匹配或超过期望值接近或大于1的特征值数量。在小矩阵上，这将比QR算法慢，但在大矩阵上，它将快得多。

该电源迭代（或功率法），例如什么丹描述，应该总是收敛，尽管速度。$\left|\lambda_{n-1}/\lambda_{n}\right|$

如果接近，速度将会很慢，但是您可以使用外推法解决该问题。它看起来似乎很复杂，但是本文给出了伪代码的实现。 λ $\lambda_{n-1}$$\lambda_n$

最近对此进行了一些很好的研究。新方法使用“随机算法”，只需要对矩阵进行几次读取即可获得最大特征值的良好准确性。这与幂迭代相反，后者需要多次矩阵矢量乘法才能达到高精度。

您可以在此处阅读有关新研究的更多信息：

http://math.berkeley.edu/~strain/273.F10/martinsson.tygert.rokhlin.randomized.decomposition.pdf

http://arxiv.org/abs/0909.4061

这段代码将为您完成：

http://cims.nyu.edu/~tygert/software.html

https://bitbucket.org/rcompton/pca_hgdp/raw/be45a1d9a7077b60219f7017af0130c7f43d7b52/pca.m

http://code.google.com/p/redsvd/

https://cwiki.apache.org/MAHOUT/stochastic-singular-value-decomposition.html

如果您没有选择的语言，则可以轻松滚动自己的随机SVD。它只需要矩阵向量乘法，然后调用现成的SVD。

在这里，您将找到Jacobi-Davidson算法的算法介绍，该算法可计算最大特征值。

本文探讨了数学方面。JD允许使用一般（实数或复数）矩阵，并可用于计算特征值范围。

在这里，您可以找到各种库实现JDQR和JDQZ（包括C接口，应该可以从R链接到该接口）。

在您的原始帖子中，您说：

“我还尝试过在igraph R软件包中使用ARPACK接口。但是，它给我的其中一个矩阵带来了错误。”

我想知道更多关于该错误的信息。如果您可以在某个地方公开使用此矩阵，我会对在其上尝试ARPACK感兴趣。

基于上面的内容，我希望ARPACK能够很好地提取稀疏矩阵的最大（或几个最大）特征值。更具体地说，我希望Arnoldi方法在这种情况下能很好地工作，这当然是ARPACK所基于的。

上面提到了当感兴趣区域中的特征值间隔很近时，幂方法的缓慢收敛。Arnoldi通过迭代多个向量而不是幂方法进行迭代来改进此方法。

这不是最快的方法，但相当快速的方法是反复用矩阵命中（初始为随机）矢量，然后对每几步进行归一化。最终它将收敛到最大的特征向量，并且单个步骤的范数增益就是相关的特征值。

当最大特征值明显大于任何其他特征值时，此方法效果最佳。如果另一个特征值的大小接近最大值，那么将需要一段时间才能收敛，并且可能难以确定它是否已经收敛。

R包rARPACK对我有用。它似乎非常快，因为它只是ARPACK的接口，ARPACK是稀疏线性代数的标准软件包（意味着计算一些特征值和特征向量）。