如何确定PDE的数值解是否收敛于连续解？

在松懈的等价性定理指出，一致性和数值方案的稳定性用于线性初值问题是收敛的必要和充分条件。但是对于非线性问题，尽管数值方法是一致且稳定的，但数值方法可以非常合理地收敛到错误的结果。例如，本文显示了应用于一维线性化浅水方程的一阶Godunov方法如何收敛到一个不正确的解。

显然，在网格和时间步长细化下的自收敛是不够的，但是对于非线性PDE来说，精确解通常是不可用的，那么如何确定一种数值方法是否收敛到一个真解？

pde stability convergence

— 杰德·布朗
source

所谓的制造方法解决方案为所有问题提供了精确的解决方案。它可能无法生成您描述的有问题的解决方案，但并非永远无法获得确切的解决方案。

— 比尔·巴特

我认为这很困难，因为您需要猜测一种不连续性的解决方案，而这种不连续性无法通过求解方法很好地估计。

— Matt Knepley 2011年

我同意，制造激起Jed提到的问题模式的解决方案可能很困难。我只想指出确切的解决方案始终可以用于测试。我不知道如果您使用trig和指数函数（典型的MoM精确解）的混合为一维线性化浅水方程组创建解，然后转动曲柄以获得相应的源项，然后运行，该怎么办他们通过一阶Godunov方案。也许Jed可以试一试并报告。

— 比尔·巴特

MoM是一个很好的工具，但是在这种情况下，问题是扩散在冲击内部被错误地应用。在其他任何地方，每个方程组的扩散均等收敛为零是可以接受的，但是在冲击内部扩散不会收敛为零，因此对每个项均应用数值扩散会导致错误的动力学。如果没有时间，我会在有时间的时候对此问题写一个很长的答案。

— 杰德·布朗

@ Jed，LET不应该应用于线性化方程吗？

— Matt Knepley 2011年

Answers:

在这方面要讨论的解决方案主要有两类。

“足够”的平滑解决方案

在Strang的经典论文中，证明了Lax等价定理（即一致性加稳定性意味着收敛），只要它们具有一定数量的连续导数，就可以扩展到非线性PDE解。请注意，该论文侧重于双曲型问题，但结果继续到抛物线型问题。所需的导数数量是一个技术要点，但是这种方法通常适用于在很强的程度上满足PDE的解决方案。

间断解决方案

在另一个极端，我们有不连续的 PDE“解” ，通常是由非线性双曲守恒定律引起的。当然，在这种情况下，不能说该解决方案在强意义上满足PDE，因为它在一个或多个点上是不可微的。取而代之的是，必须引入弱解的概念，这实质上等于要求该解满足积分守恒定律。

$L_p$ $L_\infty$

如果可以证明该序列收敛于某种东西，并且该方法是保守的，那么Lax-Wendroff定理保证它将收敛于守恒律的弱解。但是，这样的解决方案不是唯一的。确定哪种弱解是“正确的”，需要双曲线PDE中未包含的信息。通常，通过在连续模型中忽略抛物线项来获得双曲型PDE，正确的弱解可以确切地取决于抛弃了哪些抛物线项（这是上面问题中与本文相关的重点）。

这是一个内容丰富且涉及广泛的主题，而数学理论还远远不够完整。大多数收敛证明是针对一维问题的，并依赖于专门技术。因此，在实践中几乎所有双曲线守恒定律的实际计算解决方案都无法证明与现有工具是一致的。有关从计算角度进行实际讨论的信息，请参阅LeVeque的书（第8、12和15章）。对于更严格和详细的处理，我建议Dafermos。

— 大卫·凯奇森
source

除了指出数值方法遇到双曲方程式问题（并收敛到错误的解决方案）时，我在这里几乎没有其他贡献，这通常不是因为冲击。相反，他们遇到困难的区域是稀疏波-解决方案很平滑。

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— 沃尔夫冈·邦格斯
source

这是一个很好的观点，尽管在严格意义上与问题是正交的。您要解决收敛到正确的弱解的问题，实际上，这比收敛到某个弱解的问题更实际。

— David Ketcheson