数值：如何重新规范以下ODE

9

这个问题更多地是关于如何从数字上解决问题。

在一个小项目中，我想模拟Janus和Epimetheus的轨道运动。这基本上是一个三体问题。我选择土星固定在原点，令和分别是janus和epimetheus的位置向量。由于这种效果是在Janus和Epimetheus靠得很近时发生的，因此我选择了相对坐标以获得更好的分辨率，即和。现在，我得到以下运动方程： $r_1$ $r_2$ $r=r_1-r_2$ $R=r_1+r_2$

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (\binom{R}{r}) = - G (m_{2} \pm m_{1}) \frac{R}{R^{3}} - 4 M G (\frac{r + R}{(r + R)^{3}} \mp \frac{r - R}{(r - R)^{3}})

$\frac {d^2}{dt^2} \binom{R}{r} = - G (m_2\pm m_1) \frac R {R^3} - 4 M G \left(\frac {r+R}{(r+R)^3} \mp \frac {r-R}{(r-R)^3}\right )$

其中 $m_i$ 对应于卫星的质量， $M$ 是土星的质量， $G$ 是引力常数。当我尝试以数值方式解决此问题时，就会出现问题。必须处理完全不同的大小的值，即 $M \sim e^{28}$ 和 $m_i \sim e^{17}$ 。并且 $r$ ， $R$ 在0到150,000的范围内。

老实说，我不确定这是否是讨论此类数字问题的论坛。

更多信息：

代码是用Matlab编写的，我使用标准的ODE求解器来获取结果。但是，由于无法在机器精度下减小步长，因此这种方法正在崩溃。（我发现这并不奇怪，因为必须处理已经提到的数量级）。

ode

— GertVdE
source

2

您是否以SI单位运行此仿真？至少，应将所有内容除以

的某个因子

G * m_{2}

$G*m_{2}$ ，以便可以消除几个数量级。

嗨，我这个，但是它仍然无法正常工作...发生与以前相同的问题。:(

您必须将质量单位设置为月球的质量之一，并且将长度/时间单位设置为1。如果写得好，任何东西都不应小于1/100。无需非处方药求解器。编写代码以自己完成此操作，并在此控制步进大小。在冲突时可能会发生具有这些类型电位的逐步分解，在这种情况下，求解器将尝试减小逐步分解直到收敛为止，而在冲突时则没有收敛。您需要确保轨道不是共线的，因此需要查看模拟。您无法原样获得答案。

— 罗恩·迈蒙

1

请避免标题缩写。DGL =差异化？

您使用什么标准的ODE求解器？

— Geoff Oxberry 2012年

2

您当前的方法破坏了数值稳定性；实际上，您可能会以这种方式失去分辨率。

将每个卫星的开普勒变量和包含卫星位置，速度和原点的平面角度作为坐标。这样，在卫星之间没有相互作用的情况下，微分方程就变得简单了，只有相互作用变得有些复杂。如果卫星距离较远，则相互作用很小，因此产生的动力学在数值上应该是稳定的。

— 阿诺德·纽迈耶
source

2

可以使用专用算法进行几何数值积分，而不是使用“经典”（刚性）ODE求解器。例如，请参见本书以及您可以在Ernst Hairer网站上找到的GNI代码。

— GertVdE
source

0

如果您在仿真中包含三个步骤，该怎么办：

通过计算Janus-土星力来更新Janus位置。
通过计算Epimetheus-土星力来更新Epimetheus位置。
通过计算Janus-Epimetheus力来更新Janus和Epimetheus位置。

可能为＃3使用更精细的时间步长。

我不确定这是否有帮助。我想真正的问题是，除非卫星是近距离的，否则在月球和月球-土星的情况下，力的大小是不同的？

或者：

如果卫星闭合，则使用其质心矢量计算近似的卫星-土星力，并使用相同的矢量更新两个位置。
如果它们相距较远，请分别进行更新。
像以前一样。

祝你好运！