线性PDE的这种简单误差估计如何？

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令为的凸多边形有界Lipschitz域，令。 $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

然后的狄利克雷问题的解决方案在，上具有独特的解决方案并且被适定的，即对于某一常数我们有。 $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

对于某些有限元逼近 $u_h$ ，例如在均匀网格上具有节点元素的情况下，我们得到误差估计

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

似乎（也许我错了）人们通常不使用明显的误差估计

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

我们可以通过结合以上两个不等式获得。而是以各种形式开发了后验误差估计器。我可以对上述方程式想象的唯一异议是，常数 $C$ 实际上可能过于悲观或无法可靠估计。

pde finite-element error-estimation

— 舒哈洛
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在我看来，人们之所以喜欢使用第一个估计值，是因为第一个估计值自然来自有限元的Galerkin正交性，内插近似性质，以及最重要的是双线性形式的矫顽力（对于Poisson方程的边值问题），这等效于函数的Poincaré/ Friedrichs不等式）： $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ 其中取决于函数的Poincaré/ Friedrichs不等式中的常数，是在有限元中的插值元素空间和

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ 取决于网格的最小角度。

椭圆规则估计仅在PDE级别上，与即使是分布，近似值和上面的参数也成立。 $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

现在转到后验误差估计被广泛使用的原因，主要是因为：

它是可计算的，估计的表达式中没有通用常数。
估计器具有其局部形式，该局部形式可以是在自适应网格细化过程中使用的局部误差指示符。因此，可以解决奇异或真正“不良”的几何形状的问题。

您列出的两个先验类型估计都是有效的，它们向我们提供了收敛阶数的信息，但是它们都不是仅针对一个三角形/四面体的局部误差指标，因为由于常数，它们都不可计算，也未在本地定义它们。

编辑：对于椭圆形PDE的FEM的更多一般性看法，我强烈建议阅读Brenner和Scott的书：有限元方法的数学理论，第0章仅20页，并简要介绍了有限元方法的几乎每个方面从PDE的Galerkin公式，到为什么我们想使用自适应FEM解决某些问题的动机。希望这对您有更多帮助。

— 曹树豪
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您的估计在两个方面都太悲观了。您已经确定了第一个（现在不仅包括插值常数，还包括稳定性常数）。第二个是错误估计的确是请注意，右侧具有半范数，而不是范数。当然，您可以按照完整的标准约束rhs，但是您会再次以这种方式失败。 $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— 沃尔夫冈·邦格斯
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