有限元：刚度矩阵的奇异性

我正在求解微分方程具有初始条件，。这里是参数。以算子形式，我们可以将微分方程改写为，其中算子是正定的。

{(σ^{2} (x) u^{″} (x))}^{″} = f (x), 0 ⩽ x ⩽ 1

$\left( \sigma^{2}(x) u ''(x) \right)'' = f(x), \;\;\; 0 \leqslant x \leqslant 1$

u (0) = u (1) = 0

$u(0) = u(1) = 0$

u^{″} (0) = u^{″} (1) = 0

$u''(0) = u''(1) = 0$

σ (x) ⩾ σ_{0} > 0

$\sigma(x) \geqslant \sigma_{0} > 0$

A u = f

$Au = f$

A

$A$

按照FEM方案，我将问题简化为优化问题

J (u) = (A u, u) - 2 (f, u) \to min_{u}

$J(u) = (Au,u) - 2(f,u) \to \min_{u}$ 我将有限元

引入

h_{k} (x)

$h_{k}(x)$ 为

v_{k} (x) = {\begin{aligned} 1 - {(\frac{x - x_{k}}{h})}^{2}, & x \in [x_{k - 1}, x_{k + 1}] \\ 0, & otherwise \end{aligned}

$v_{k}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 - \left( \frac{x-x_{k}}{h} \right)^2, & x \in [x_{k-1},x_{k+1}] \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.$ 对于任何

k = 1, \dots, n - 1

$k = 1,\ldots,n-1$ ，其中

x_{k} = h k

$x_{k} = hk$ ，

h = \frac{1}{n}

$h = \frac{1}{n}$ 。相似地介绍了有限元

v_{0} (x)

$v_{0}(x)$ 和

v_{n} (x)

$v_{n}(x)$ 。

我试图从数值上找到向量 $\alpha$ ，使得 $u(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} v_{k}(x)$ 解决了优化问题。我们有

J (u) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n} α_{i} α_{j} (A v_{i}, v_{j}) - \sum_{i = 0}^{n} 2 α_{i} (v_{i}, f) = α^{T} V α - 2 α^{T} b \to min_{α},

$J(u) = \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} (Av_{i},v_{j}) - \sum\limits_{i=0}^{n} 2\alpha_{i} (v_{i},f) = \alpha^{T} V \alpha - 2\alpha^{T} b \to \min\limits_{\alpha},$ 其中

b_{i} = (f, v_{i})

$b_{i} = (f,v_{i})$ 和

V_{i, j} = (A v_{i}, v_{j})

$V_{i,j} = (Av_{i},v_{j})$ 。在关于

求微分后，

α

$\alpha$ 我收到

V α = b,

$V\alpha = b,$ 但是这里的刚度矩阵

V

$V$ 是奇异的。那我该怎么办？也许我必须选择其他有限元？

finite-element

— 贴花
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嗨，Nimza，您是否遇到测试问题，但您知道确切的解决方案？如果是，请首先尝试求解

V^{T} V α = V^{T} b

$V^T V \alpha = V^T b$ 以测试您的基础在域内是否正确，如果一切看起来正确，则可能是由于不正确放置的BC使矩阵奇异。但是卑诗省对我来说似乎还可以。

— 曹淑豪2012年

Answers:

可能性从大到小

基础不正确。从您的描述看来，您恰好具有两个二次函数，每个元素都受支持。该空间不是统一的分区，也不是（连续的一阶导数）。要直接离散化四阶问题（例如，而不是将其简化为二阶方程组），您将需要基。注意，基应该能够精确地再现所有线性函数。 $C^1$ $C^1$ $C^1$
边界条件不足。如果您计算并绘制空空间，这将是显而易见的。
不正确的组装。检查从元素到组装顺序的映射，以确认它是否符合您的期望，例如，它没有反转元素的方向。
错误的本地程序集。在1D中，您可以分析计算单元刚度矩阵的外观（可能是简化的情况）并检查代码是否重现了该矩阵。

— 杰德·布朗
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谢谢。1.我认为我将需要基础，因为。然后，如果我只考虑满足边界条件的函数，则。

C^{2}

$C^2$

(A u, v) = \int_{0}^{1} σ^{2} (x) u^{″} (x) v^{″} (x) d x

$(Au,v) = \int_{0}^{1} \sigma^{2}(x) u''(x) v''(x) dx$

\ker A = {0}

$\ker A = \{ 0 \}$

— 2012年

一个基就足够了，被积体不必是连续的。注意，二阶导数的边界条件将成为边界积分。您可以使用基础直接离散化四阶问题，但是您将需要像针对一阶和二阶系统的不连续Galerkin方法一样集成跳跃项。这不是一个坏方法，但是在一维中它不必要地复杂，因为以任何连续顺序（例如样条线）构造基极容易。本文是“ DG” 的示例。

C^{1}

$C^1$

C^{0}

$C^0$

C^{0}

$C^0$

— 杰德·布朗

好。我更正了我的依据：现在上的和。现在是。但是方法仍然行不通。

v_{k} (x) = \cos^{2} (\frac{π}{2 h} (x - x_{i}))

$v_{k}(x) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2h}(x-x_{i}) \right)$

[x_{i - 1}, x_{i + 1}]

$[x_{i-1},x_{i+1}]$

i = 1, \dots, n - 1

$i = 1,\ldots,n-1$

C^{1}

$C^1$

— 2012年

的基础应该能够再现线性函数，但是这不能。解决此问题后，请检查积分是否正确执行，然后检查边界条件。

C^{1}

$C^1$

— 杰德·布朗

显然，该问题具有奇数阶导数。更具体地说，对于更大的Péclet数，刚度矩阵可能不会保持“精细”形状，这会在组装过程中产生零，因此会变成奇异的或有时很小的行列式，这在溶液图的波动中很明显。

解决此类问题的方法是使用惩罚等方法。更具体地说，这称为彼得罗夫-加勒金方法。

对不起，我的英语理解能力很差。

— 索艾尔·艾哈迈德（Sohail Ahmed）
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