对称广义特征值问题是否存在Sylvester惯性定律的推广？

我知道为了解决对称特征值问题 $Ax = \lambda x$，我们可以使用Sylvester惯性定律，即 $A$ 少于 $a$ 等于的否定条目数 $D$ 对角矩阵 $D$ 来自LDL的分解 $A-aI = LDL^{T}$。然后，通过二等分法，我们可以找到所需的全部或一些特征值。我想知道对称对称特征值问题是否存在Sylvester惯性定律的推广$Ax= \lambda Bx$，在哪里 $A$ 和 $B$是对称矩阵。谢谢。

是的，如果铅笔是确定的，即 $A$ 和 $B$ 是Hermitian和 $B$是肯定的。然后签名$A-\sigma B$ 对特征值问题有相同的解释 $(A-\lambda B)x=0$ 像这样 $B=I$。这种更普遍的结果适用于任何确定的非线性特征值问题$A(\lambda)x=0$。请参阅我的书的第5.3节

Arnold Neumaier，剑桥大学数值分析导论。出版社，剑桥，2001年。

对于 $(A-\lambda B)x=0$，我断言的证据可以从杰克·普尔森（Jack Poulson）提出的论点中推论得出， $C-\sigma I$ 和 $A-\sigma B$ 是一致的，因此具有相同的惯性

特别是可以直接计算出惯性 $A-\sigma B$，并且不需要Cholesky分解 $B$ 来形成 $C$。确实，如果$B$ 是病态的，那么数值的形成 $C$ 降低惯性测试的质量。

在这种情况下 $B$ 是Hermitian且是正定的，是Cholesky分解 $B$说 $B = L L^H$，使

这个方程可以被操纵来表明

应该清楚的是 $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ 保持...的对称性 $A$，并且与铅笔具有相同的光谱 $(A,B)$。因此，形成后$C$，先进行Cholesky因式分解，再进行两侧三角求解，则可以将Sylvester惯性定律直接应用于$C$ 收集有关铅笔特征值的信息 $(A,B)$。

请注意，由于西尔维斯特惯性定律在全等变换方面是不变的，例如，$S \cdot S^H$，然后是矩阵 $C$ 与...一致 $A$ 通过转型 $L^{-1} \cdot L^{-H}$， 所以 $C$ 惯性与 $A$。但是，如果惯性$C-\sigma I$ 需要一些非零位移 $\sigma$，那么我们不能再简单地考虑 $A$。