科学计算中复杂算术的危险

复杂的内积具有由惯例决定两个不同的定义：ˉ Ù Ť v或ü Ť ˉ v。在BLAS中，我找到了例程cdotu，zdotu和cdotc，zdotc。前两个例程实际上计算u T v（伪内积！），而后两个例程将内积中的第一个向量共轭。另外，通过任一定义（共轭Ù或v），⟨ ü ，v ⟩ = ¯ ⟨ v ，ù $\langle u,v\rangle$$\bar{u}^Tv$$u^T\bar{v}$$u^Tv$$u$$v$$\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$与共轭！此外，正如评论中指出的那样，为多值复杂函数选择主要值可能取决于惯例。

我的问题是：这种复杂性是否会导致在科学计算中使用复杂算术的真正危险？Deal.ii的作者强调了这个问题，他们建议始终将复数分为实数部分和虚数部分，并且仅使用实数算法。但是我从来没有发现拆分方法很方便。例如，考虑时谐麦克斯韦方程的PML。

在大多数开源FEM软件中，除FreeFem ++和libmesh之外，似乎都普遍担心使用复数。但是，即使有两个例外，复杂算法的测试也比实数少。

我的最后一个问题是：我们是否应该始终避免使用复数？

您说复杂算术的问题在于，与实际情况中的一种方法相比，有多种方法可以定义复杂矢量的标量积。我认为复杂标量积的真正问题是另一个问题，但是，它与您的观察密切相关。

在复杂算术中，标量乘积的参数顺序很重要，而在实际算术中则无所谓。许多算法在复杂运算和实数运算中本质上是相同的，这意味着您只需编写一次，然后对复杂运算和实数运算使用相同的代码。（例如，在C ++中，您可以为此使用模板。）完成编写代码后，通常会对其进行测试。为了发现某些标量产品中参数排序的错误，您必须使用复杂值测试用例来测试代码。

当您拥有复杂值问题的有效代码时，通常会免费获得算法的实值代码。当您使用复数值测试用例测试代码时，该代码通常也适用于实数。但是，将实值代码转换为复杂的代码需要额外的工作。因此，与实际价值问题相比，对于实际价值而言，仅存在更多可以使用（并经过全面测试）的代码。

我的问题是：这种复杂性是否会导致在科学计算中使用复杂算术的真正危险？

我会以下列方式说“是”。如果没有针对复杂值问题对代码进行良好的测试，则代码中出现错误的可能性更高，但这取决于您正在查看的具体代码。只要对代码进行良好的测试，就不会有问题。

我的最后一个问题是：我们是否应该始终避免使用复数？

正如已经指出的那样，存在使用实数无法解决的问题。例如，非对称矩阵特征值的计算。因此，我们需要复杂的算法。

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基本复数功能的分支切口或无谓符号位。

http://people.freebsd.org/~das/kahan86branch.pdf