直接求解器是否受矩阵的条件数影响？

如果我要解决一个相对较小的问题，即可以通过直接方法（如LU）处理的问题，那么线性算子的条件数会影响解决方案的准确性吗？

我正在研究的问题之一集中在优化技术上，以解决线性方程组，而我遇到的“问题”是矩阵的条件数可能很高。

如果要使用迭代方法和预处理器，这将是要考虑的重要因素，但是现在我正在解决小的问题（自由度小于1M），因此直接求解器现在很适合。

是的，无论您选择使用迭代方法还是直接方法来求解系统，条件数始终对浮点运算至关重要。的近似解的相对精度从LU分解与枢转得到的是ø （κ （甲）＆CenterDot;＆ε ），其中ε是最小的浮点数，使得1 + ε > 1的机器上。如果你使用的是64位浮点数，ε ≈ 10 - 16，因此，如果您矩阵具有的条件数$Ax = b$$O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$$\varepsilon$$1 + \varepsilon > 1$$\varepsilon \approx 10^{-16}$那么您只能保证您的解决方案的精度为4位数字。$10^{12}$

对于迭代解算器，即使在无穷精度算法中，矩阵条件数也进入了显示，因为它经常指示算法的理论收敛速度。对于直接求解器，只有考虑到计算机以有限的精度运行这一事实，这才成为考虑因素。