随时间变化的PDE的时空有限元离散化

在FEM文献中，半变量方法通常用于时变PDE的解决方案中。我还没有看到一种完全可变的方法，即FEM将空间和时间离散化，也许允许使用非结构化的时空网格。尽管时间步进方法可能更易于实现，但是否存在时空网格划分不可行的特定原因？我想人们必须定制网格来尊重给定问题的物理特性，但是我不确定。

时空偏微分方程的完全时空离散确实是一回事。如果您及时使用结构化网格（在某种意义上，时间离散化不依赖于空间），并选择适当的试验和测试功能，则可以采用几种标准的时间步长方法（Crank-Nicolson，隐式Euler或某些Runge） -Kutta方案）放入Galerkin框架，从而提供了一种优雅的分析方法。例如，这在Thomée的书《抛物线问题的Galerkin有限元方法》（Springer，第二版，2006年）或Chrysafinos和Walkton的论文中描述了抛物线方程的不连续Galerkin方法的误差估计（SIAM J. Numer。Anal 。44.1，349–366，2006）。

使用完全非结构化的网格不太常见，但是对于沿特征传递信息的双曲线问题很有用。如果使用不连续的Galerkin公式，则每个时空元素仅通过面项与相邻元素耦合（您没有全局连续性要求），并且可以使用扫掠过程通过沿特征逐个元素地计算求解-一种“倾斜”的时间步伐。当然，即使不需要存储完整的时空网格（这可能是禁止的），也很难实施。另一方面，您将获得非结构化网格的优势，可以进行局部（自适应）细化，从而实现局部自适应的时间步长。弹性动力学的时空有限元方法：公式化和误差估计，应用力学和工程计算机方法66（3）：339-363，1988。Shripat Thite还有一篇关于不连续Galerkin方法的时空网格划分的博士学位论文。

我看到此想法的另一个背景是抛物线问题的PDE约束优化。在这里，您可以将一阶必要的最优性条件公式化为前向-后向方程的耦合系统，您可以将其解释为时间上的二阶，空间椭圆型方程与初始-最终（和边界条件。通过对该耦合系统进行自适应时空离散化，您可以拥有一种有效的单次计算方法，请参见Gong，Hinze，Zhou：抛物线型最优控制问题的时空有限元逼近，J Numer。数学。20（2）：111-145（2012）。

有更多关于时空方法的论文。其中有一个来自Steinbach，时空有限元素，另一个来自Langer等。Al，时空等几何分析都解决了抛物线演化问题。在这两篇文章中，他们生动地描述了变体形式，但是在不同的环境中。如标题所示，前者使用FEM，而后者使用IgA。我认为这可以提供很好的信息，尤其是您要寻找的信息。

在专着《数值数学》第二版的最后一章中，Quatteroni等人 al，其中有一个关于“时空”的章节可能也有帮助，尤其是与$\theta-$计划。

Tensor产品的时空实现与基于非张量的实现非常不同。后者尤其对于FEM来说有些棘手。