计算正定对称矩阵的逆矩阵及其行列式的最快算法是什么？

给定正定对称矩阵，用于计算逆矩阵及其行列式的最快算法是什么？对于我感兴趣的问题，矩阵尺寸为30或更小。

1. 确实需要高精度和高速度。（执行数百万个矩阵）
2. 行列式是必需的。在每次计算中，仅需要逆矩阵的一个元素。谢谢！

对于我感兴趣的问题，矩阵尺寸为30或更小。

正如WolfgangBangerth所指出的那样，除非您拥有大量这样的矩阵（百万，十亿），否则矩阵求逆的性能通常不是问题。

给定正定对称矩阵，用于计算逆矩阵及其行列式的最快算法是什么？

如果速度是一个问题，则应回答以下问题：

• 您真的需要整个逆吗？（许多应用程序不需要形成显式逆。）
• 您真的需要行列式吗？（行列式并不常见，但在计算科学中当然并非闻所未闻。）
• 您是否需要高精度？（低精度算法往往会更快。）
• 概率近似就足够了吗？（概率算法往往更快。）

将小正定矩阵求逆并计算其行列式的问题的标准响应是Cholesky分解。如果$A = LL^{T}$， 然后 $\det(A) = \prod_{i=1}^{n}l_{ii}^{2}$和 $\det(A^{-1}) = \prod_{i=1}^{n}l_{ii}^{-2}$。

假设 $A$ 是 $n$ 通过 $n$，可以在附近计算出Cholesky分解 $n^{3}/3$触发器，大约是LU分解成本的一半。然而，这样的算法将不被认为是“快速”的。一个随机LU分解可能是一种更快的算法，值得考虑，如果（1）您确实必须分解大量矩阵，（2）分解实际上是应用程序中的限制步骤，并且（3）使用随机算法所引起的任何错误是可以接受的。您的矩阵可能太小而无法使用稀疏算法，因此更快算法的唯一其他机会将需要其他矩阵结构（例如，带状）或利用问题结构（例如，您可以巧妙地重组算法，以使您不必不再需要计算矩阵逆或其行列式）。有效的行列式算法大约是在恒定因子范围内求解线性系统的成本，因此用于线性系统的相同参数也适用于计算行列式。