如何在有限元法中建立集总质量矩阵

当使用有限元方法求解与时间相关的PDE时，例如说热方程，如果我们使用显式的时间步长，则由于质量矩阵，我们必须求解线性系统。例如，如果我们坚持使用热方程示例，

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

然后使用前向欧拉，我们得到

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

因此，即使我们使用显式的时间步进方案，我们仍然必须求解线性系统。这显然是一个主要问题，因为使用显式方案的主要优点是不必求解线性系统。我已经读过，解决此问题的常用方法是改用“集总”质量矩阵，该矩阵将常规（一致？）质量矩阵转换为对角矩阵，从而使反演变得微不足道。在进行谷歌搜索后，我仍然不能完全确定这个集总质量矩阵是如何创建的。例如，看他的关于扩散-扩散方程的质量集总的数值实验由Edson Wendland Harry和Edmar Schulz编写，他们通过简单地将所有系数求和到对角线上来创建集总质量矩阵。因此，例如，如果我们原始的一致质量矩阵为：

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

则总质量矩阵为：

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

那么我的问题是：这是形成集总质量矩阵的正确方法吗？当使用集总质量矩阵而不是完全一致的质量矩阵时，在准确性方面存在哪些缺点？我提到的论文的作者实际上建议不要使用集总质量矩阵，尽管似乎他们只是在使用隐式时间步进方案，考虑到使用此类矩阵的主要原因是显式方法，我认为这很奇怪。

注意：我绝不会使用前向Euler来求解热方程，这只是一个例子。同样重要的是，我的问题是求解Navier Stokes方程，其中明确处理了非线性项而对扩散项进行了隐式处理。

谢谢

finite-element time-integration navier-stokes

— 詹姆士
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O (n^{2})

$O(n^{2})$

是的，如果我使用直接求解器，我可以这样做，但是如果使用PCG或其他迭代式求解器，我认为这无济于事

— James

我个人不相信数学上的集总。从计算上讲，除非您打算进行明确的时间步长，否则它不会给您带来任何优势，在这种情况下，对角质量矩阵将更易于求解。如果使用隐式时间步进方法，则矩阵中不会有任何稀疏性。我认为您只有在不使用一致矩阵的情况下才会获得错误。

— 保罗

令我惊讶的是，没有人提到Fried和Markus（1975）的四边形方法，该方法使用Lobatto点处的节点来避免截断误差的损失。在您接触立方之前，这不是问题，但是排除了偶然性因素。这个想法已经扩展到三角形，但是需要特殊的基础和正交。

— L. Young

我认为对此没有明确的答案，因为它可能会从一个主题变为另一个主题（并且还取决于您使用的元素类型）。最近也有一些有关此的论文[2]。因此，这不是一个封闭的讨论。此外，当您具有受运动约束的元素（如梁或壳）时，可以具有不同的惯性分量（至少在力学方面）。

Zienkiewicz（请参见[1]，第16.2.4节）讨论了将质量矩阵集总的三种方法

$M_{i i}^{(lumped)} = \sum_{j} M_{i j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
$M_{i i}^{(lumped)} = c M_{i i}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

并非所有方法都适用于所有情况，例如，行和方法不适用于8节点意外事件元素，因为它会导致负质量。

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

M_{i i}^{(lumped)} = \frac{M_{tot}}{T r (M)} M_{i i} (no summation on i) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

我还对带有Lobatto节点的频谱元素方法（使用这些位置作为节点和积分点）使用了方法3，该方法自动产生对角矩阵。

从[1]，您可以看到此图描述了某些元素类型的一些方法某些二维有限元的质量集总

参考文献

[1] Zhu，J.，ZRL Taylor和OC Zienkiewicz。“有限元方法：其基础和基础。” （2005）：54-102。

[2] Felippa，Carlos A.，Qong Guo和KC Park。“质量矩阵模板：一般说明和一维示例。” 工程计算方法档案22.1（2015）：1-65。

— nicoguaro
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