从数字上看，弱收敛的感觉如何？

考虑一下，您在无穷维Hilbert或Banach空间中有问题（例如PDE或此类空间中的优化问题），并且您有一种算法难以收敛到解决方案。如果您离散化问题并将相应的离散化算法应用于问题，则弱收敛是每个坐标的收敛，因此也很强。我的问题是：

这种强收敛与从原始无穷算法的良好旧平原强收敛获得的收敛有什么区别？

或者，更具体：

“离散的弱收敛方法”会发生什么样的不良行为？

当我只能证明收敛性较弱时，我自己通常不太高兴，但是到目前为止，即使我将离散化问题扩展到更高维度，我仍然无法观察到方法结果的问题。

请注意，我对“首先离散化而不是优化”与“首先优化而不是离散化”问题不感兴趣，并且我知道如果将算法应用于不与该问题共享所有属性的离散化问题，则会出现问题针对该算法而设计的。

更新：作为一个具体示例，请考虑一个变量存在的优化问题$L^2$并用（惯性）前后分裂之类的方法求解，或者只知道弱收敛性的其他方法。对于离散化问题，可以使用相同的方法，如果直接离散化算法，则使用正确的离散化可以得到相同的算法。提高离散化精度会出什么问题？$L^2$

的确，弱收敛在连续极限中最为关键，因为 $h\to 0$（例如，由于无法观察到任何收敛速度）。至少在希尔伯特空间中，它还与极限的非唯一性紧密相关，因此仅是后续收敛（例如，您可以在接近不同极限点之间交替，再次破坏速率），并且很难分离出两者融合。

专门用于弱收敛 $L^2$，您还具有这样一个事实，即收敛不一定是逐点的，您实际上可以（足够精细）的离散化观察到这一点。这是一系列最小化器的示例$\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 收敛为 $\varepsilon\to 0$ 至

$$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$$ 收敛性较弱但并非有针对性的地方 $[\frac13,\frac23]$（但是几乎在其他所有地方都是指向性的）。下图显示了序列中的三个代表性元素（对于$\varepsilon$ 已经很小）。

这种现象在微分方程式的爆炸控制问题的逼近中被称为“颤抖”（即具有盒子约束的问题，其中几乎所有位置的解都达到下限或上限）。

（此特定示例摘自我们关于椭圆系统的多爆炸控制，Ann。HenriPoincaré（C）2014，1109-1130，备注4.2。）

对于相同的解决方案序列，您提出的问题通常没有太大的实际意义，因为一个规范的弱收敛可能意味着另一规范的强收敛。

举一个例子，假设我们用标准有限元在凸多边形区域上用足够光滑的右手边求解拉普拉斯方程。然后解决$u$ 在 $H^2$，但当然是有限元解 $u_h$ 只在 $H^1$。我们确实知道$u_h \rightarrow u$ 强烈地在 $L_2$ 和 $H^1$ 规范作为最大网格尺寸 $h\rightarrow 0$ 因为我们有先验误差估计 $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ 和 $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$。

但是显然我们不能期望 $u_h \rightarrow u$ 强烈地 $H^2$ 因为 $u_h$ 只在 $H^1$。但是我们可能有$u_h \rightharpoonup u$ 弱于 $H^2$（实际上，我认为这成立）。然后，这可能暗示着诸如

$$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$$

关键是弱收敛与强收敛的问题通常是您所看待的范式的问题，而不是您从方法中获得的解决方案序列的属性。