参考广场上的Raviart-Thomas元素

我想学习Raviart-Thomas（RT）元素的工作原理。为此，我想分析地描述基函数在参考正方形上的外观。这里的目标不是自己实现，而只是为了对该元素有一个直观的了解。

我主要是立足这项工作过讨论的三角形元素在这里，也许它延伸到四边形，本身就是一个错误。

也就是说，我可以为第一个RK元素RK0定义基本函数：

i=1，...，

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$$ for$i = 1,\dots,4.$

在条件是：$\mathbf{\phi}_i$

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$

其中是如下所示的单位法线，是其坐标。X$\mathbf{n}_j$$\mathbf{x}_j$

这是参考平方，因此这导致每个基函数的方程组。对于这是：φ$[-1,1]\times[1,1]$$\mathbf{\phi}_1$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

可以解决以下问题：

$$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$$

可以类似地找到其他基础函数。

假设这是正确的，下一步就是找到RK1的基础函数。这就是我有点不确定的地方。根据上面的链接，我们感兴趣的空间是：

$$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$$

一种用于基础将 { 1 ，x ，y $P_1$$\{ 1, x, y\}$

我认为这意味着RK1基本功能应采用以下形式：

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$$

每个基础函数剩下10个未知数。如果我们采用与RK0情况相同的条件，即：

Ñ

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$ ，其中是法线单位，如下所示：$\mathbf{n}_j$

这给了我们8个方程式。我认为其他2个可以在稍后找到。我不太确定具体如何。上面的链接谈论基于的基础进行集成，但是我很难弄清楚这意味着什么。我是在正确的轨道上，还是我完全错过了这里的东西？$[P_1]^2$

通常，您不能仅将相同的多项式基数从四面体单元转换为四边形单元。¹ 特别是，四边形元素的全部要点是使用一维多项式的张量积，而四面体元素则不可能。

实际上存在四边形的Raviart-Thomas元素，但是它们的定义不同。在二维中，的多项式空间由 其中 对于一个典型的多项式因此将是如你写，但对于它是 因此，，并且通常$RT_k$

$$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$$ $$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$$ $k=0$$k=1$ $$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$$ $\dim RT_1 = 12$$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$。这意味着您需要两个附加的自由度，这些自由度应位于元素的内部。（通常，对于您在每个构采用正态导数，并从内部获取剩余的自由度。）$RT_k$$k+1$

要回答您的实际问题：对于Raviart-Thomas元素，通常要花一些时间而不是点评估，即，其余条件来自 其中是（例如 for）。为了更容易获得完整的节点基础，通常不将小平面自由度作为点评估，而将其作为力矩条件： 其中是四个边之一，是对应的外法线，并且对于每个

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$$ $\{q_j\}$$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$$\{1,x,y\}$$k=1$ê 米ν Ë 米米q 米，Ĵ P ķ（Ë 米）{ 1 ，X } { 1 ，ÿ } ķ = $$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$$ $e_m$$\nu_{e_m}$$m$，则形成的基础（例如，对于取决于边缘方向，或）。这些自由度加在一起就是唯一溶剂（即，基函数的相应系统始终是可逆的）。$q_{m,j}$$P_k(e_m)$$\{1,x\}$$\{1,y\}$$k=1$

您可以在Boffi，Brezzi，Fortin：混合有限元方法和应用程序，Springer 2013，Arnold，Boffi，Falk：四边形有限元$H(div)$，SINUM 42的第2.4.1章中找到有关四边形Raviart-Thomas元素的讨论。（5），2005年，第2429-2451页，以及Ronald Hoppe讲义的第3.2.3章。

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_{1.作为一个经验法则，次多项式空间上四面体单元包含单项式，其功率总和到，而量级的空间四边形元件包含单项式，其最大功率为。例如，在四面体上为阶，但在四边形上仅为阶。 k k k x 2 y 3 $k$$k$$k$$k$$x^2y$$3$$2$}