有限元分析中测试功能的目的是什么？

在波动方程中：

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

为什么在积分之前先乘以测试函数 $v(x,t)$ ？

finite-element

— 安迪
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简短答案：因为有限元方法是弱公式的离散化，而不是强公式（您已经给出）的离散化。中等答案：因为您不能确定找到满足方程的有限维函数；充其量您可以希望残差正交于有限维解空间-或等效地，正交于该空间的任何元素（正是测试函数）。各部分的集成并不那么重要，在您的情况下，出于对称的考虑。长答案太长了，无法发表评论:)

— Christian Clason

另一个简短的解释：如果您只是积分并设置为零，则您要求均值消失-根本不是您要寻找的均值，因为那样的话，在域的一部分中，只要它很大，另一个符号相反。测试功能实质上是将残差“定位”到每个元素。

— 克里斯蒂安·克拉森2015年

对于另一种解释，看到这样的回答： scicomp.stackexchange.com/questions/16331/...

— 保罗

Answers:

你正在倒退。通过从变式设置开始并逐步形成强形式，可以更好地看出正当性。完成此操作后，可以将乘以测试函数并进行积分的概念应用于并非以最小化问题为起点的问题。

因此，请考虑我们要最小化的问题（在这里正式而不是严格地工作）：

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

受一些边界条件。如果我们希望这个达到最小值，则需要相对于区分它，后者是一个函数。现在有几种很好的方法可以考虑这种导数，但是引入的一种方法是计算 $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

其中只是一个标量。您可以看到，这类似于对标量变量的标量函数的导数的传统定义，但扩展到像这样的函数，这些函数可以返回标量，但它们的作用域超出函数。 $h$ $I$

如果我们为我的计算这个（主要是使用链式规则），我们得到 $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

将其设置为零以找到最小值，我们得到一个方程，看起来像拉普拉斯方程的弱声明：

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

现在，如果我们使用发散定理（又称零件的多维积分），我们可以从取导数并将其放在以获得 $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

现在，当您想从偏微分方程构建弱语句时，这看起来确实是您的起点。现在有了这个想法，您可以将其用于任何PDE，只需乘以一个测试函数，对其进行积分，应用散度定理，然后进行离散化。

— 比尔·巴特
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我宁愿从最小化加权残差的角度来解释它。

— nicoguaro

@nicoguaro，好，那么您可以写下答案，我们将看看哪个对OP更有意义。:)

— Bill Barth

+1指出弱形式实际上（或至少经常）比强形式更自然。

— 克里斯蒂安·克拉森2015年

有趣。有点切线，但是关于“现在有很多很好的方法来考虑这种派生方法”：我所学的唯一方法就是您提到的方法。还有什么其他种类？

— user541686

@Mehrdad此方法计算方向导数，并验证它是线性算子（以），因此是Gâteaux导数。您也可以从另一个方向出发：猜一个线性算子（例如，通过与实函数的类比），并验证其是否满足一阶泰勒逼近性质。那么它是Fréchet衍生物（因此也是Gâteaux衍生物）。

h

$h$

— 克里斯蒂安·克拉森2015年

如前所述，我倾向于将弱形式视为加权残差。

我们想找到一个近似解。让我们将残差定义为 $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

对于精确解的情况，残差是域上的零函数。我们想要找到一个近似的解决方案，它是“好”的，即，使小的解决方案。因此，我们可以尝试最小化残差的范数（例如，最小二乘法）或平均值。一种方法是计算加权残差，即最小化加权残差 $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

关于此的重要一件事是它定义了一个功能，因此可以将其最小化。这可以用于没有变型形式的函数。我在这篇文章中描述更多。您可以用不同的方式选择函数，例如具有函数的相同空间（Galerkin方法），Dirac delta函数（并置方法）或基本解（边界元素方法）。 $w$ $\hat{u}$

如果选择第一种情况，那么最终将得到一个类似于@BillBarth描述的方程。

— nicoguaro
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