伸出的零空间

给出了系统其中，我读的是，在壳体的Jacobi迭代用作解算器，该方法将不收敛，如果具有在零空间非零分量。因此，如果具有一个跨越的零空间的非零分量，那么雅可比方法将是一个非收敛的形式上的形式化说法？我想知道如何将其数学形式化，因为正交于零空间的部分解决方案确实会收敛。

A x = b,

$Ax=b,$

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

b

$b$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

因此，通过在每个迭代中投影的零空间，它会收敛（或？）。 $A$

......

我特别感兴趣的情况下其中是与由向量所跨越的零空间的对称拉普拉斯矩阵，和具有零在组分的零空间，其中

L x = b,

$Lx=b,$

L

$L$

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$

b

$b$

L

$L$

J b = b,

$Jb=b,$

是中心矩阵。这是否意味着每个Jacobi迭代将投影

的零空间，即每个迭代将居中？我要问的是，从那时起，就不需要从Jacobi迭代中投影

的零空间（或者换句话说，将迭代的中心）。

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$

L

$L$

L

$L$

— 用户
source

这个问题可能与您无关，太：scicomp.stackexchange.com/questions/1505/...

— shuhalo

谢谢。实际上，我已经从那里的评论中提取了一部分，因为问题本身值得关注。但是，以上问题并未得到解决（至少没有正式化）。

— usero 2012年

哦，对不起我，我没有检查这是你自己的问题。

— shuhalo 2012年

@JedBrown您在scicomp.stackexchange.com/questions/1505/上的回答启发了这个问题。我认为这值得独立考虑。我想您将可以考虑上述问题。

— usero 2012年

可解性的正确条件与的零空间无关（除非是对称的），而与的零空间无关。如果则意味着，因此必须正交于任何零向量（否则没有解，Jacobi迭代没有任何理由）融合）。 $A$ $A$ $A^T$ $A^Tu=0$ $Ax=b$ $u^Tb=u^TAx=0$ $b$ $A^T$

但是，如果是这种情况，则存在解决方案，并且在正方形情况下，存在无限多个。

在单数情况下，由于人们永远不知道是否满足此条件（并且无论如何都会舍入而变坏），因此通常将其作为最小二乘问题解决。要找到最小范数解，可在法线方程上使用共轭梯度；这要求你的代码乘以和。（仅给出一个与相乘的例程，而可以使用GMRES，而收敛性较差。） $A$ $A^T$ $A$

— 阿诺德·纽迈耶
source

非常感谢。请注意，我对Jacobi方法特别感兴趣（从理论上讲，否则，我接受您对替代方法的建议。）因此：“对于

在

的零空间中具有零成分的情况，我特别感兴趣。那意味着每个Jacobi迭代项都将投影出

的零空间吗？我问这是因为从那时起，就没有必要从Jacobi迭代项中投影出

的零空间（因此，当b具有null-

空间）。”

b

$b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— usero 2012年

@usero：正如我所说，

的空空间与问题无关。还是矩阵对称？而且，除非

具有恒定的对角线，否则Jacobi方法不会保留与

的零空间正交的符号。

A

$A$

A^{T}

$A^T$

A

$A$

— 阿诺德·诺迈耶

我已经编辑了问题。矩阵

是一个对称（拉普拉斯算子），其零空间被所有矢量覆盖。那么，如果

居中（如上定义），每个Jacobi迭代是否都居中？对于可能造成的混淆，我深表歉意。

A

$A$

b

$b$

— usero 2012年

@usero：如果

的对角线是恒定的，则为是。写对角线项为1。然后

，Jacobi迭代为

，

如果

且

则对称，

，因此

A

$A$

A = I - B

$A=I-B$

x_{0} = b

$x_0=b$

x_{n + 1} = b + B x_{n}

$x_{n+1}=b+Bx_n$

A u = 0

$Au=0$

u^{T} b = 0

$u^Tb=0$

u^{T} B = u^{T}

$u^TB=u^T$

u^{T} x_{n}

$u^Tx_n$ 通过归纳是常数，因此为零。-但是为什么要关心Jacobi方法？这是很慢的！

— 阿诺德·纳伊迈尔

好了，所以它雅可比迭代不与中心居中

和

具有正非恒定对角线，即

，对于一些

。请注意，我对Jacobi的兴趣纯粹是理论上的。至于实践，我肯定会采纳您的建议。谢谢。

B

$B$

A

$A$

d i a g (A) \neq c \cdot I

$diag(A)\neq c\cdot I$

c \in R

$c\in \mathbb{R}$

— usero 2012年