在Multigrid中通常不进行收敛检查吗？

我刚刚阅读了Briggs / Henson / McCormick的“ A Multigrid教程”中的第3章， 链接。

文本是关于Multigrid循环的，例如V循环，mu循环，FMG。引起我注意的是：在大多数迭代过程中，需要检查是否已收敛到所需的公差/精度，如果是，则过程停止。但是Briggs / Henson / McCormick在提出的方案中不使用任何收敛性检查。迭代和递归的数量只是硬编码的，因此必须相信该方案会收敛。

那么通常如何在Multigrid中完成此操作？通常迭代次数/递归次数只是硬编码的吗？我真的担心我会因为过于精确而浪费大量计算时间，或者另一方面，当我选择较少数量的迭代/递归时，准确性在很多情况下会很差。

是的，出于某些原因，MG中没有收敛检查是正常的。首先，如果您在每次遍历中使用不同数量的迭代，则MG运算符将不再是线性的，您将不得不使用FGMRES之类的加速器来容纳非线性预处理器。其次，FMG在工作时是一个精确的求解器（将误差减小到离散化误差以下），因此检查收敛将昂贵的同步引入算法中。通常，您通常在最后检查以验证收敛。

当然不。举个例子，《Multigrid》一书在第53页（图2.10）有一个图，该图显示了残差的减少与V或W循环次数的关系。当您对残差的大小感到满意时，您将停止循环。

造成混淆的原因可能是因为某些描述仅描述了单个V周期。在某些有限的情况下，由于多重网格技术是一种如此强大的技术，因此这可能会产生合适的解决方案。同样，multigrid可以用作前提条件。在那种情况下，多重网格只是加速器，而收敛性的检查则在更高的层次上进行。但是检查应该总是在某处进行。

在用作求解器的Multigrid中，通常将残差的相对范数用作停止准则。随着您降低此比率-解决方案的准确性应提高。此外，在最粗糙的层次上，研究人员会做不同的事情：

1. 使用直接求解器求解（无收敛）
2. 使用固定的迭代（无收敛）
3. 使用迭代之间的连续差异作为收敛标准（这不是一个好方法，因为您可能离解决方案很远）
4. 再次使用残差的相对范数作为停止标准。

当将Multigrid用作前置条件时，上面列出的方法2最粗略的方法是好的（Multigrid专家可以在这里发表评论-我是初学者）。

因此，通常使用收敛。