查找黑盒函数不连续性的最佳方法是什么？

有人建议，对于这个问题，这可能比我之前问过的 Mathematics Stack Exchange更好。

假设有一个黑匣子函数，可以在指定间隔任何位置（便宜地）对其进行评估并且没有噪音（例如，浮点粒度除外）。找到此功能不连续性的最佳方法是什么？我不知道可能有多少间断点，也可能没有间断点。$[a,b]$

我可以想到一些简单的方法（统一采样，在样本之间存在较大差异的地方进行细化，...），但是也许有更好的方法？

该函数是“合理的”，因为可以假设它最多具有有限的不连续性，对于高阶导数也是如此，我不介意是否遗漏了小的病理不连续性...（该应用程序是对一维函数的自动绘制） 。

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感谢所有答复，特别是佩德罗。Pachón，Platte和Trefethen中描述的方法似乎是对我最好的方法，所以我现在去实现它

如果您使用的是Matlab，则可能会对Chebfun项目感兴趣。Chebfun接受一个函数，对其进行采样，然后尝试将其表示为多项式插值。如果您的函数有不连续性，Chebfun应该可以使用该splitting on命令检测到它们。您可以在此处找到一些示例。

如果您对基础算法感兴趣，可以参考Pachón，Platte和Trefethen的论文“ Piecewise Smooth Chebfuns ”。

我怀疑chebfun算法一定看起来更实用，但是有必要提一下另一种检测不连续性的方法，即离散小波变换。您可以通过查看Mathematica文档页面来了解其工作原理，请参阅部分>应用程序>检测不连续性和边缘。

$f$

加权基本非振荡（WENO）方法使用“平滑度指示器”来检测有限体积和差异方法中的不连续性。从Pedro给出的Chebfun的描述来看，似乎总的思路是相同的：构造一组插值多项式，并使用它们来计算平滑度。

参见GS Jiang和CW Shu，《加权ENO方案的有效实施》，J.Comput.Phys。，第1卷。126，第202--228页，1996。

与@Pedro一起，我将研究边缘检测算法。不连续性是导数上的无穷大，因此请考虑查看日益精细的网格并定位感兴趣的区域。

随着网格的细化，对连续函数导数的有限差分近似应减小。比较网格之间的导数的有限差分结果可以发现梯度的发散，这表明不连续。

$f(x) = \mathrm{sign}(x) \sqrt{|x|}$$x=0$$h_x \rightarrow 0$