最小特征值无逆

假设 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 是对称正定矩阵。 $A$ 足够大，以至于直接求解昂贵 $Ax=b$ 。

是否有一种迭代算法来查找的最小特征值， $A$ 该特征值在每次迭代中都不会反转 $A$ ？

也就是说，我必须使用共轭梯度之类的迭代算法来求解，因此重复应用似乎是一个昂贵的“内部循环”。我只需要一个特征向量。 $Ax=b$ $A^{-1}$

谢谢！

linear-algebra eigensystem eigenvalues iterative-method

— 贾斯汀·所罗门
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您是否尝试过使用Cholesky分解？您必须将

分解为

其中

为三角矩阵。一旦进行了分解（您只需执行一次），就可以在每个迭代中使用它来通过向前和向后替换快速地求解系统。

A

$A$

L L^{T}

$L L^T$

L

$L$

— Juan M. Bello-Rivas

是稀疏矩阵吗？

— Tolga Birdal'1

具有一些块结构，但如果不需要，我不希望弄乱它-因此，我一直在研究“无矩阵方法”。我认为“ LOBPCG”算法有希望！@ Juan，Cholesky因式分解仍然相当昂贵。

A

$A$

— 贾斯汀·所罗门

如果您使用的是matlab或octave，请使用eigs-routine。这是一种迭代方法。有一些选项可以指定所需的特征值，例如最小的real。

— sebastian_g

我了解并确实在Matlab中使用了Eigs。但是，如果你指定一个像在eigs“SM”的选项，那么它需要的倒数

，而不是

A

$A$

A

$A$

— 贾斯汀·所罗门

计算最大幅度特征值的（与，比如说，）。 $\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
然后计算最大幅值（负）本征值的（再次，通过一个标准的呼叫）。 $\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
观察到。为什么这样认为的原因解释这里。 $\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
寻找你的特征向量通过求解。 $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
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