PDE的强解决方案

PDE的强形式要求未知解属于。但是弱形式仅要求未知解属于。 $H^2$ $H^1$

您如何调和这一点？

pde weak-solution

— 穆罕默德·切达迪
source

弱解决方案的类别大于强解决方案的类别（每个强解决方案也是弱解决方案，但并非每个弱解决方案也都是强解决方案）。

— 克里斯蒂安·克拉森

但是，只有一种解决方案。

— Mohamed Cheddadi'1

每个（合适的）右手边函数或一组（合适的）边界条件都有一个解决方案。对于弱解决方案，适当的RHS或BC的空间比强解决方案的空间大。

— 比尔·巴特

让我们看一下泊松方程的最简单的例子

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$ 上的域

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 与均匀狄利克雷条件一起

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$ 上的边界

\partial Ω

$\partial\Omega$ 的

Ω

$\Omega$ 。我们现在假设为

\partial Ω

$\partial\Omega$ 是一帆风顺的，我们希望（例如，可以由被参数

C^{\infty}

$C^\infty$ 函数） -这将是重要的更新版本。

现在的问题是如何解释（完全正式的）PDE $(1)$ 。通常，这是根据如何解释导数 $\Delta$ 来回答的，但是出于我们的目的，最好专注于如何解释方程式。

该PDE $(1)$ 假设保持逐点对每个 $x\in\Omega$ 。为了使之有意义，右侧 $f$ 必须是连续的，否则我们不能谈论点值 $f(x)$ 。这意味着该解决方案的第二个（古典）衍生物 $u$ 必须是连续的，即，我们必须寻找 $u\in C^2(\Omega)$ 。

函数 $u\in C^2(\Omega)$ ，其满足 $(1)$ 连同点状边界条件 $(2)$ 一起称为经典解（有时，很不幸，它也是强解）。
$f$ 连续的要求对于实际应用而言过于严格。如果我们只能假设 $(1)$ 持有逐点，几乎每一个 $x\in \Omega$ （即无处不在，除了套勒贝格测度为零），那么我们就可以逃脱 $f\in L^2(\Omega)$ 。这意味着，第二衍生物是在功能 $L^2$ ，这是有意义的，如果我们采取弱衍生物，因此寻找 $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ 。（请记住，功能 $u$ 是不连续的，我们不能把边界条件 $(2)$ 逐点。由于 $\partial \Omega$ 具有零勒贝格测度作为一个子集 $\bar\Omega$ ，逐点几乎无处不没有意义无论是。）

函数 $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ ，其满足 $(1)$ 逐点几乎无处不在被称为强溶液。请注意，通常需要证明这种解决方案是存在的并且是唯一的（在此示例中就是这种情况）。
$f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ $(3)$

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

$(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
$f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ 或更复杂的非线性方程；参见例如http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/。）

— 克里斯蒂安·克拉森
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我发现这个答案非常有用。您能否提供答案的最后一部分的参考？我想看一个示例，其中PDE具有独特的强解决方案，但允许多个弱解决方案。谢谢！

— 感应