模拟有限差分法的说明性示例

尽管我试图在互联网上找到一个简洁的解释，但我似乎无法掌握模拟有限差分的概念，甚至无法理解它与标准有限差分的关系。看看一些简单的示例，了解如何对经典线性PDE（双曲线，椭圆形和抛物线形）实现它们。

不确定这是否是您想要的答案，但是没有其他人能回答我，我可以提到GPL的MATLAB Reservoir Toolbox，它在油藏模拟中将模拟求解器用于压力方程式。看到作为这个方程，

这里描述了一个很好的例子。包括的示例使用MATLAB的块脚本功能，您可以在其中使用shift-enter逐步完成各个步骤并检查每个步骤中的数据。

相关文章可以在这里找到。第一篇论文介绍了模拟内部产品的公式，因此您可以阅读代码。如果您还没有MATLAB或不熟悉该语言，这可能不是很有帮助-但我认为简单的示例也应该与Octave兼容。

有一篇硕士论文“在PEBI网格上模拟和两点通量近似方案之间的比较”，其中遍历了一些细节，尤其是第7.3节通过一个小例子手动完成了工作。

支持算子方法（SOM）利用了以下事实：大多数偏微分方程都是根据微分算子散度来表示的 $\nabla\cdot$，渐变 $\nabla$和卷曲 $\nabla\times$。SOM通过构造上述差分算子的离散类似物，为空间差分提供了一种方法。离散算子满足连续算子满足的重要微分和积分恒等式的离散形式。本质上，SOM构造了微分算子演算的离散版本。

离散演算的构建分两个步骤进行。首先，我们为基本运算符之一（称为素数运算符）选择离散形式。然后，基于我们选择要维护的微分和积分恒等式的子集，我们构造了其他基本运算符，称为派生运算符。主运算符的选择取决于应用程序和离散化。从某种意义上说，素数运算符“支持”派生运算符的构造。守恒律，解对称性和微分算子之间的伴随关系是我们希望离散算子模仿的性质的示例。

例如，线性扩散方程的SOM离散化，模拟离散化将模拟

1. 高斯格林定理，以执行当地的保护法
2. 通量和散度算符之间的负伴随关系， $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. 离散散度和离散通量的乘积的保证对称性和正性
4. 离散通量算子的零空间是常数函数。

关于扩散方程的模拟离散化的完整详细信息，可以在1D或2D中获得。

参见Jerome Bonelle的论文，该论文可在他的网站上找到，或直接在这里找到。我发现他的第2-4章很容易阅读，并提供了很好的介绍。他还讨论了两个示例，一个是椭圆PDE，另一个是Stokes方程。