如何提高找到奇异线性ODE本征系统的有限差分方法的精度

我正在尝试求解以下类型的方程：

$\left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x)$

其中$f(x)$具有一个简单的极，对最小特征向量。边界条件是：和，而我只看上的函数。Ñ ψ （0 ）= 0 ψ （[R ）= 0 （0 ，- [R $0$$N$$\psi(0) = 0$$\psi(R)=0$$(0,R]$

但是，如果我执行一种非常简单的，均匀分布的有限差分方法，则最小特征值是非常不准确的（有时，“错误”特征值的负数比我所知道的负数个数个数量级大， “第一个特征值”成为第二个，但仍然很差。

什么因素会影响这种有限差分方案的准确性？我认为奇异性是导致问题的原因，并且间距不均匀的网格会显着改善问题，是否有任何论文可以使我朝着好的非均匀有限差分法发展？但是也许更高阶的差分方案会进一步改善它？您如何决定（或者只是“试着看看”）

注意：我的有限差分方案是对称三对角线，其中3个对角线是：

$\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, \; \frac{1}{\Delta^2} - f(x), \; -\frac{1}{2 \Delta^2} \right)$

其中是网格间距。而且我正在使用直接对称求解器求解矩阵（我假设精度不会受到求解器的严重影响，对吗？）$\Delta$

如果要提高有限差分方案的准确性，可以始终尝试增加模板的度数。但是，在等距点上，这可能导致数值不稳定。为了避免这些问题并仍然获得较高的准确性，我建议使用“ 光谱方法”。

如果您的问题有固定的极点，则可以尝试通过拆分域并解决两个耦合的问题来解决它们。

该Chebfun系统（免责声明：其中我的开发者之一），采用上述技术，你可以给你的问题在一个快速旋转chebgui接口。我会自己尝试，但是我不知道您的域名或是什么。$f(x)$

chebgui[ - 1 ，1 $-u''(x) - u(x)x = \lambda u$$[-1,1]$

更新资料

如果您想解决这个问题而又不花太多精力在Chebfun上，则所有详细信息都应在Nick Trefethen的书“ Matlab中的光谱方法 ”的第9章中。

$\Delta x$$f(x)\psi(x)$$f(x)$$f(x_i)$$\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$$\varphi_i(x)$$x_i$$f(x)$

当然，如果您已经进行了有限元分析，则不妨投资使用在1d中也没有那么困难的高阶元素。