数值分析中“先验”和“后验”误差估计之间有何区别？

我已经了解了有限元方法（也对其他数值方法有所了解），但我不知道这两个错误的确切定义以及它们之间的区别是什么？

先验估计与后验估计之间的差异为右侧：$C(h)$

• 在先验估计中，右侧取决于（通常明确地）和u，而不取决于u h。例如，一个典型的先验估计泊松方程的有限元近似- Δ Ù = ˚F将具有形式 ‖ ü - ü ħ ‖ 大号2 ≤ c ^ H ^ 2 | ü | H 2， 常数$h$$u$$u_h$$-\Delta u = f$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$$ $c$取决于域和网格的几何形状。原则上，可以在计算（因此得名）之前先评估右侧，因此您可以在求解任何事物之前选择h。实际上，无论是c还是| ü | H 2是已知的（首先是u是您要寻找的），但是有时您可以通过仔细地通过证明和|来获得c的阶数或大小估计。ü | 使用数据$u_h$$h$$c$$|u|_{H^2}$$u$$c$$|u|$$f$（已知）。主要用途是作为定性估计值-它告诉您，如果要将误差减小四分之一，则需要将减半。$h$

• 在后验估计中，右侧取决于和u h，而不取决于u。一个简单的残余的基于泊松方程一个后验估计将是 ‖ ü - ü ħ ‖ 大号2 ≤ ç ħ ‖ ˚F + Δ Ü ħ ‖ ħ - 1， 在理论上可以被评估之后计算Ú ħ。实际上，H − $h$$u_h$$u$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$$ $u_h$$H^{-1}$范数是有问题的计算，所以你进一步操纵的右手侧获得一个逐元素大号2（˚F ））结合 其中所述第一总和是在元件 ķ三角测量的， ħ ķ是大小 ķ，所述第二求和是在所有的元件边界 ˚F，和 Ĵ （∇ Ú ħ）表示的正常衍生物的跳跃 ü ħ跨 ˚F。现在，除了常数 c之外，在获得 u h之后就可以完全计算。所以再次使用主要是定性的-它告诉您哪些元素比其他元素产生更大的错误贡献，因此而不是减少 $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$$ $K$$h_K$$K$$F$$j(\nabla u_h)$$u_h$$F$$u_h$$c$$h$统一地，您只需选择一些误差贡献较大的元素，然后通过细分将它们缩小。这是自适应有限元方法的基础。