关于非线性有限差分方程，冯·诺依曼的稳定性分析告诉我们什么？

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我正在阅读一篇论文[1]，他们在其中解决了以下非线性方程

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$ 使用有限差分法。他们还使用冯·诺依曼的稳定性分析来分析方案的稳定性。但是，正如作者意识到的那样，这仅适用于线性PDE。因此，作者通过“冻结”非线性项来解决此问题，即他们替换了非线性项。

u u_{x}

$uu_x$ 与

U u_{x}

$Uu_x$ ，在哪里

U

$U$ “被认为代表了

u

$u$ ”。

所以我的问题有两个：

1：如何解释此方法，为什么不起作用？

2：我们也可以更换 $uu_x$ 与 $uU_x$ 学期 $U_x$ “被认为代表了 $u_x$ “？

参考文献

Eilbeck，JC和GR McGuire。“正则化长波方程的数值研究I：数值方法。” Journal of Computational Physics 19.1（1975）：43-57。

— 猎人
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1

您输错了方程式。本文中的方程是RLW方程。

— 奥马尔

3

相关的问题，没有完整的答案：scicomp.stackexchange.com/q/8717/713，mathoverflow.net/q/186760，scicomp.stackexchange.com/q/16142，scicomp.stackexchange.com/q/6863。试探性地讲，我认为它应该起作用是因为您对非常高的频率模式的稳定性感兴趣（在该模式下会发生误差，波长大约是网格间距），而解决方案本身会以更低的频率变化，因此可以冻结系数并研究冻结系数PDE的稳定性。

— 基里尔

2

我回答了基里尔提出的一些问题的答案。不幸的是，我不知道RLW方程的任何结果，但是只要解足够平滑就可以证明稳定性。

— David Ketcheson '16

1

您所说的被称为线性化。这是分析非线性PDE的常用技术。完成的工作是将方程式转换为以下格式：

$u_t+Au=0$

在此，A是由方程线性化得到的矩阵。

现在您的问题，

正如您所想，它在某种程度上有效，但在某种程度上却无效。实用性是可以证明线性系统具有稳定性，但非线性系统却不容易。因此，线性结果扩展到非线性系统。通常，针对特定情况采用不同的方法。例如，

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

这是保护形式。所以，

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

当以有限的体积表示时，会限制u的演化。

进行替换的用途是什么？您将从波形方程式中删除方程式。这将意味着解决方案将不会表现为波动方程。因此，在稳定性分析中，测试解决方案必须完全不同且非物理性。

— 维克拉姆
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2

为了详细说明线性化参数，在uu_x中，您要假设u是局部常数，而不是u_x，这有两个原因：a）u比其导数变化慢，并且b）在这种情况下，假设u_x是局部常数，根据定义，您还假设u是局部线性的，这意味着较高的空间导数为零，这不仅会引入附加的近似误差，而且可能意味着您可能会把婴儿的洗澡水扔掉，具体取决于您的方程式。

— 多明哥·塔维拉
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