（自适应？）函数绘图的算法

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我正在寻找算法来绘制可能具有或不具有奇异性的函数的标准2d图形。目的是编写一个“ Mini-CAS”，所以我对功能的类型没有先验知识，用户想画图。

这个问题很老，所以我想在文献中一定有一些标准算法。有一次，我没有太多通过谷歌找到参考文献的成功。

我确实找到了一种有趣的算法，即 “ YACAS-算法集”中的一种名为“自适应函数绘图” 的算法。

简而言之：

有标准算法吗？
是否有针对已知难以绘制功能的测试套件？
有哪些有趣的论文可供阅读？

algorithms visualization

— 苏加德
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也许使用“函数绘图”而不是“图形绘图”可以更好地理解该问题？首先，我误解了标题（图论）。

— astrojuanlu 2012年

@ Juanlu001感谢您的建议。我改变了标题。

— soegaard 2012年

当您说2D时，您是要绘制诸如类的一元函数，还是对以2D显示的具有不同颜色/阴影的二元函数（）感兴趣？不同的值？

f (x)

$f(x)$

f (x, y)

$f(x,y)$

— Szabolcs 2012年

好吧，我的意思是绘制一个变量的函数。但是，我也想听听有关在两个变量设置中选择要评估的点的算法。我对听说颜色和阴影并不感兴趣。

— soegaard，2012年

对于2D功能，请在此处查看我的问题和答案。我在这里所做的工作非常有限，并且对于任意功能而言效果不佳。另外，描述中缺少一些必要的步骤，否则该方法将无法正确收敛：我需要在网格的每个边缘的中间插入一个新的采样点，该采样点将在下一次重新三角化时消失。（续）

— Szabolcs's 2012年

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我已经在GitHub上实现了Mathematica的自适应采样例程（这是一个C文件，转到头文件的源树）。很久以前，我在一本有关Mathematica的大书中找到了该例程的描述，并且一段时间以来，我一直在使用此实现的变体。它基本上在感兴趣的区域上进行了粗糙的线性采样，然后返回以细化高曲率区域。可能会遗漏一些非常鲜明的功能，但实际上，我发现这种情况极为罕见。该文件还包含并行版本。

— 维克多·刘
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那是哪本书？是我链接的那个吗？您知道版本5和版本6在其实现中发生了哪些确切变化吗？

— Szabolcs，2012年

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@Szabolcs：不，我相信这是在本书第4.1.3节中。该说明适用于Mathematica的非常旧的版本。较新的版本（可能从v6开始）可以检测垂直渐近线，并从图中删除虚假的垂直线。新版本肯定进行了大量复杂的符号预处理，以处理不连续性，未定义区域和分支切割。

— 维克多·刘

您正在谈论的符号预处理在文档中称为“排除检测”。可以通过将其定义为Exclusions -> None来隐藏函数的结构，也可以将其关闭。当我问这些更改时，这并不是我要指的。我相信算法会有所变化，因为v5和v6是在不同点采样的。现在，我无法再次在v5上进行测试。Plotf[x_?NumericQ] := ...

— Szabolcs，2012年

《 Mathematica图形指南》对这个问题进行了很好的讨论。我特别喜欢还描述了该算法的不足之处。

— soegaard 2012年

我再也找不到GitHub文件了，它移动了吗？

— Andrei

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了解其他CAS如何做到这一点可能会对您有所帮助。

$f(x)$ $(x(t), y(t))$ $f(x)$

从绘图域上的点按规则间隔的网格开始。（在Mathematica中，有一个参数控制取多少PlotPoints。）
$(x_1, f(x_1)),\; (x_2, f(x_2)),\; (x_3, f(x_3))$ $\frac{x_1+x_2}{2}$ $\frac{x_2+x_3}{2}$
如果尚未达到迭代极限（MaxRecursion在Mathematica中设置），请从步骤2开始重复。

其中的一些内容在Stan Wagon撰写的《 Mathematica in Action》一书中进行了讨论，您可以在Google图书上找到。

为了更好地控制计算函数的成本，我实施了该算法。这是步骤2的Mathematica代码：

nd[{points_, values_}] :=
Transpose@{(Drop[points, 1] + Drop[points, -1])/2,
Differences[values]/Differences[points]}

subdivide1d[result_, resolution_, maxAngle_: 10] :=
  Module[
    {deriv, angle, dangle, pos, nf},
    deriv = nd[result\[Transpose]];
    angle = ArcTan[#2] & @@@ deriv;
    dangle = Differences[angle];
    pos = Flatten@Position[dangle, d_ /; Abs[d] > maxAngle/180 Pi];
    pos = Union[pos, pos + 1];
    nf = Nearest[result[[All, 1]]];
    Select[deriv[[pos, 1]], Abs[# - First@nf[#]] > resolution &]
  ]

— 扎博尔奇斯
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函数图上的MathWorld网页包含对几篇论文的引用，这些论文似乎与自适应函数图有关。引用页面：

绘制图形的良好例程使用自适应算法，该算法在函数变化最快的区域中绘制更多点（Wagon 1991，Math Works 1992，Heck 1993，Wickham-Jones 1994）。Tupper（1996）开发了一种算法[...]

另一方面，我在Google上偶然发现了一篇论文

www.cs.uic.edu/~wilkinson/Publications/plotfunc.pdf

解释了如何正确选择域和其他内容。我希望它们对您有用。

— 阿斯特罗胡安路
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我找到了这个主题，并认为我应该分享将其添加到Julia库Plots.jl 的开发人员问题页面。我们从Mathematica的实现笔记开始尝试了一系列技术，以期看到什么可以带来良好的效果。添加一些修剪，较小的扰动以使其不能精确地在间隔端点开始，递归限制和双重网格误差估计器都是“正确处理”所必需的。该线程还将您指向实现的开源代码。因此确实需要一些调整，但是添加这些功能使其变得非常健壮（根据测试，如线程中所示）。

— 克里斯·拉考卡斯（Chris Rackauckas）
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