解决具有小秩对角线更新的系统

假设我有原始的大型稀疏线性系统：。现在，我没有因为A太大而不能分解或进行任何形式的分解，但是假设我有一个带有迭代求解的解决方案。$A\textbf{x}_0=\textbf{b}_0$$A^{-1}$$A$$\textbf{x}_0$

现在，我希望对A的对角线应用小秩更新（更改一些对角线条目）：（其中是对角矩阵，其中对角线中大多数为0，一些非零值。如果我有我将可以利用伍德伯里公式对逆进行更新。但是，我没有此功能。除了重新解决整个系统，我还能做些什么吗？是否可以通过某种方式想出一个容易\容易反转的前置条件，例如，所以如果我拥有，我将要做的就是套用$(A+D)\textbf{x}_1=\textbf{b}_0$$D$$A^{-1}$$M$$MA_1 \approx A_0$$\textbf{x}_0$$M^{-1}$ 迭代方法会收敛几次/几次迭代？

1. 保存在两个矩阵的列中 $B$ 和 $C$ 所有向量 $b_j$ 在先前的迭代中将矩阵应用于哪个矩阵以及结果 $c_j=Ab_j$。

2. 对于每个新系统 $(A+D)x'=b'$ （要么 $Ax=b'$，这是特例 $D=0$），近似解决超定线性系统 $(C+DB)y\approx b'$例如，通过选择行的子集（可能是全部）并使用密集最小二乘法。请注意，只有$C+DB$需要组装；所以这是一个快速的操作！

3. 放 $x_0=By$。这是一个很好的初始近似值，可用来开始迭代求解$(A+D)x'=b'$。如果必须处理其他系统，请在此新迭代中使用矩阵向量乘积来扩展矩阵$B$ 和 $C$ 在结果子系统上。

如果矩阵 $B$ 和 $C$ 不适合主存储器，存储 $B$在磁盘上，并预先选择行的子集。这使您可以保持核心的相关部分$B$ 和 $C$ 需要形成最小二乘方系统，下一个 $x_0$ 可以通过一次计算 $B$ 很少使用核心内存。

选择行的方式应使其大致对应于整个问题的粗略离散化。比预期的矩阵向量乘以的总数多五倍的行应该足够了。

编辑：为什么这个工作？通过构造，矩阵$B$ 和 $C$ 被关联 $C=AB$。如果子空间由$B$ 包含精确的解向量 $x'$ （一种罕见但简单的情况），然后 $x'$ 具有形式 $x'=By$ 对于一些 $y$。代入方程式定义$x'$ 给出等式 $(C+DB)y= b'$。因此，在这种情况下，以上过程作为起点$x_0=By=x'$，这是确切的解决方案。

总的来说，不能指望 $x'$ 放在...的列空间中 $B$，但生成的起点将是此Cloumn空间中最接近的点 $x'$，以所选行确定的指标为准。因此，这可能是一个合理的近似值。随着更多系统的处理，列空间会增加，并且近似值可能会改善很多，因此人们可以希望收敛的迭代次数越来越少。

Edit2：关于生成的子空间：如果一个人使用Krylov方法求解每个系统，则用于获取第二个系统的起点的向量跨越了第一个右侧的Krylov子空间。因此，只要此Krylov子空间包含的向量接近您的第二个系统的解，就可以很好地近似。一般而言，向量可用于获取$(k+1)$st系统跨越一个空间，该空间包含第一个的Krylov子空间 $k$ 右手边。