计算一个非常大且非常稀疏的邻接矩阵的所有特征值

我有两个图，每个图都有近n〜100000个节点。在两个图中，每个节点正好连接到其他3个节点，因此邻接矩阵是对称的并且非常稀疏。

困难的部分是我需要邻接矩阵的所有特征值，而不是特征向量。准确地说，这将是我一生中唯一的一次（至少据我所知！），因此我想获取所有特征值，并且不介意等待几天来获取它们。

我尝试过scipy包装器ARPACK，但是花费的时间太长。我找到了多个库，但是它们最适合于获得最大/最小特征值的子集。是否有适用于对称稀疏矩阵并可能并行实现所有特征值的库？

— 马赫迪
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出于好奇，为什么您确实需要所有特征值？这种大小的大多数问题都是甚至更大（甚至是无限维）问题的近似值，因此，小问题的特征值仅近似于一个人真正想要解决的问题的特征值。大多数情况下，近似值的质量仅对最小或最大特征值有效，而其他所有值的近似值均较差，因此没有太大的实际意义。

— Wolfgang Bangerth '16

相关的问题和答案

— GoHokies 2016年

@WolfgangBangerth：（如果这些对您来说很明显，请原谅我）问题出在材料物理上。它与材料的紧密结合近似有关，以获得带结构，振动和电学性质。为了获得这些，我需要所有特征值。顺便说一句，这并不是什么新鲜事物，它可以追溯到70年代和80年代，但是由于我的系统是非晶态的，因此我需要有一个非常大的系统才能获得良好的效果。尽管大多数人只关心晶体，但是与我的案例相比，这非常容易。

— Mahdi 2016年

@Mahdi：嗯，我的意思是物理性质由某些偏微分算子的频谱确定。我怀疑（但是当然不知道，因为您没有描述问题的出处）您所拥有的大矩阵特征值问题只是PDE问题的一个近似值。因此，您的特征值也仅是近似值。

— Wolfgang Bangerth '16

Answers:

您可以使用频移-反相频谱变换[1]并逐个频带计算频谱。

我的文章[2]中也解释了该技术。除了[1]中的实现外，我的Graphite软件[3]中还提供了C ++的实现（1月17日更新：现在所有内容都移植到了地理图/石墨版本3），该函数用于计算Laplace运算符的本征函数最多可与100万个顶点进行网格划分（与您的问题相似）。

怎么运行的：

这个想法是，如果是可逆的，则如果是本征对，是本征对。ARPACK中的迭代方法对于计算较大的特征值（高频）非常有效，而对于较小的特征值（较小的频率）而言效率较低。因此，当需要计算较小的频率时，将替换为是一个好主意。现在，由于ARPACK只需要计算矩阵向量乘积，就没有必要真正求反：可以将其分解（例如使用稀疏LU或稀疏分解），然后求解 $A$ $(V,\lambda)$ $A$ $(V, 1/\lambda)$ $A^{-1}$ $A$ $A^{-1}$ $A$ $LL^t$ $Ax=b$ 每当ARPACK请求矩阵向量乘积时。这是“反转”转换。现在，当特征值的数量变大时，ARPACK会变慢，但是还有另一种技巧/变换可以使用，并且可以计算的特征值，其中是“移位”，它确定了哪个部分探索频谱的变化（这是“移位”变换）。结合这两种变换，可以计算一定数量的的特征值，然后通过增加逐频带探索整个频谱。细节在[1]，[2]中。 $A - \sigma Id$ $\sigma$ $(A-\sigma Id)^{-1}$ $\sigma$