是否有找到渐近斜率的数值算法？

我有一系列数据点，我希望（近似）遵循函数渐近到大的行。本质上，随着趋于零，并且对所有导数，都可以说相同等等。但是，我什至不知道f（x）的函数形式是什么，即使它甚至具有可以用基本函数来描述的形式。ý （X ）X ˚F （X ）≡ Ý （X ）- （一X + b ）X →交通∞ ˚F '（X ）˚F “（X ）˚F （X $(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$$f''(x)$$f(x)$

我的目标是对渐近斜率a进行最佳估计$a$。一种明显的粗略方法是挑选出最后几个数据点并进行线性回归，但是，如果$f(x)$在我拥有数据的x范围内没有变得“足够平坦”，那么这当然是不准确的$x$。明显的粗略方法是假设$f(x) \approx \exp(-x)$（或某些其他特定的函数形式）并适合使用所有数据的情况，但是我尝试过的简单函数就像$\exp(-x)$或$\dfrac1{x}$与较低$x$处的数据不完全匹配，其中$f(x)$大。考虑到我缺乏确切的数据如何逼近渐近线的知识，是否存在一种已知的算法来确定渐近斜率会更好，或者可以提供斜率值以及置信区间？

在处理各种数据集时，这类任务往往会频繁出现，因此我对通用解决方案最感兴趣，但是根据要求，我链接到提示此问题的特定数据集。如评论所述，Wynn $\epsilon$算法给出的值，据我所知，有些偏离。这是一个情节：

（看起来好像在高x值处有轻微的向下曲线，但是此数据的理论模型预测它应该是渐近线性的。）

这是一个相当粗糙的算法，但是我将使用以下过程进行粗略估算：如果，正如您所说，当增大时，代表您的已经接近线性时，我d要做的是采用差异，然后使用类似Shanks变换的外推算法来估计差异的极限。希望该结果是对该渐近斜率的良好估计。（x i，y i）x y i + 1 − y $f(x)$$(x_i,y_i)$$x$$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

接下来是Mathematica演示。Wynn算法是Shanks变换的便捷实现，并且作为（隐藏）函数内置。我们尝试一下功能上的程序$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

我不妨展示一下算法有多简单：

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

此实现改编自Weniger的论文。