矩形稠密矩阵的零空间

给定的致密基质

A \in R^{m \times n}, m >> n; m a x (m) \approx 100000

$A \in R^{m \times n}, m >> n; max(m) \approx 100000$ 什么是找到一定误差内的零空间基础的最佳方式

ϵ

$\epsilon$ ？

基于这个基础上我可以说以一定的cols是线性相关的内 $\epsilon$ ？换句话说，以零空间为基础计算，为了获得非奇异矩阵，必须删除哪些列 $A$ ？

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linear-algebra

— 亚力山大
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Answers:

确定矩阵零空间的标准方法是使用QR分解或SVD。如果精度至关重要，则首选SVD；否则，建议使用SVD。QR分解速度更快。

$A = U\Sigma V^{H}$ $V$ $\Sigma$ $\max(m,n) \cdot \varepsilon$ $\varepsilon$

使用QR分解，如果，并且的秩为，则假设QR分解是秩揭示的，则的最后列构成的零空间。要确定，请计算的主对角线上条目的数量，该条目的大小超过公差（类似于SVD方法中使用的数量）。 $A^{T} = QR$ $A$ $r$ $n-r$ $Q$ $A$ $r$ $R$

不要使用LU分解。在精确算术中，这是一种可行的方法，但是对于浮点算术，数字误差的累加使其不准确。

维基百科在这里涵盖了这些主题。

— 杰夫·奥克斯伯里
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Geoff，就QR而言，假设我已经分解了，那么我该如何关联空空间基础和原始矩阵中的列呢？换句话说，为了摆脱空空间，我应该从

中删除哪些列？这里的重点是使用

本身而不是分解。

A

$A$

A

$A$

— 亚历山大

计算QR分解的例程通常包括一个返回排列向量的选项，该向量指示如何对列进行排列以获得QR分解。最后

该置换矢量的条目将对应于各行

（列

是在零空间）。第一

n - r

$n-r$

A

$A$

A^{T}

$A^{T}$

r

$r$ 向量个条目对应于

的线性独立列。我不确定“摆脱空空间”是什么意思。您是否要删除

列以获得非奇异矩阵？

A^{T}

$A^{T}$

A

$A$

— Geoff Oxberry 2012年

是的，我是说。我会看一下排列，谢谢。

— 亚历山大

那是一个不同的问题。那么，什么你会做的却是计算的QR分解（SVD或）

。如果您计算

的QR分解，则可以按照上述答案计算

的秩（无需转置矩阵），然后排列向量的前

个条目（其中

是

的秩）对应到

的独立列。相同的算法适用于SVD。如果您可以随分解返回排列向量，则应该提供必要的信息。

A

$A$

A

$A$

A

$A$

r

$r$

r

$r$

A

$A$

A

$A$

— Geoff Oxberry 2012年

如果，你的问题表明，你可以先选择一个索引节省一些工作组的（说）随机行和使用正交分解 $m\gg n$ $I$ $p\approx 5n$ $A_{I:}^T=QR$ 。（该QR-因式分解是一个其中是sqare和是矩形的秩的，其余的列是零使用置换后的QR分解将增强稳定性;然后置换必须考虑在。更详细的食谱。） $Q$ $R$ $r$ $n-r$ $R$

通常，这将为您提供一个由列（的最后列）跨越的低维度子空间。该子空间包含的空空间。现在选择另一个，不相交的随机索引集合，并计算的QR分解。将左侧得到的空空间乘以以获得改进的，其尺寸甚至可能更低。迭代直到的大小不再减小。那么您可能拥有正确的空空间，并且可以通过计算 $N$ $n-r$ $Q$ $A$ $(A_{I:}N)^T$ $N$ $N$ $N$ $AN$ 。如果这仍然可以忽略不计，请对最重要的行进行进一步的迭代。

编辑：一旦有了，就可以通过旋转的的正交分解来找到的线性独立列的最大集合实际上，未选择为枢轴的索引集将具有此属性。 $N$ $J$ $A$ $N^T=QR$ $J$

— 阿诺德·纽迈耶
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+1是确定大型矩阵的零空间的有效方法。我将不得不记住稍后在需要时咨询此答案。

— Geoff Oxberry 2012年

确实，这听起来很合理，但是我的矩阵适合16 GB的RAM，因此我会选择使用标准的matlab qr。

— 2012年

Neumaier教授，我决定测试该算法，但我不完全了解

是什么，“计算

的QR因式分解”是什么意思？您能否再解释一下。

N

$N$

(A_{I :} N)^{T}

$(A_{I:}N)^T$

— 2012年

我稍微修改了答案。

由Geoff Oxberry的配方计算得出。

N

$N$

— 阿诺德·诺伊迈耶

谢谢。我实现了。然而，据我看到的，这个算法不允许我定义一组线性无关列的

（因为我们分解

而不是

），但只是帮助估算零空间基础本身？

A

$A$

A_{I :}^{T}

$A_{I:}^T$

A_{I :}

$A_{I:}$

— 2012年