如何数值计算残渣？

我需要计算以下积分： 其中是一个矩阵（一个粒子的动能和势能以基数表示），是一个依赖于的矩阵（一个单粒子多-体格林函数），轮廓积分是左半圆。积分在负实轴上具有极点，因此评估起来很昂贵。计算这种积分最有效的方法是什么？

到目前为止，这是我的研究：

1）我使用高斯积分，我的积分路径是一个矩形。我固定了左侧和右侧（即宽度），并以高度（在实轴上方和下方）播放，因此对于给定的积分顺序，我可以获得最高的精度。例如，对于20阶，如果高度太大，则精度会下降（很明显），但是如果它太小，则精度也会下降（我的理论是，随着高度的增加，极点周围需要越来越多的点0）。我将功能的最佳高度定为0.5。

2）然后我将矩形的右侧设置为E0，通常为E0 = 0，但也可以是E0 = -0.2或类似的值。

3）我开始将矩形的左侧移到左侧，并为每一步进行积分顺序收敛，以确保每个矩形的积分都完全收敛。通过增加宽度，我最终在无穷左半圆的极限处得到了一个收敛值。

计算确实很慢，而且对于大宽度也不太准确。一种改进是将长宽度简单地划分为“元素”，并对每个元素使用高斯积分（就像在FE中一样）。

另一个选择是在每个极点周围集成一个小圆圈并将其汇总。问题：

a）如何从数值上找到函数的极点？它应该很健壮。我唯一知道的是它们在负实轴上。对于其中一些（但不是全部），我也知道一个很好的初步猜测。是否存在适用于任何解析函数？还是取决于的实际形式？$f(E)$$f(E)$$f(E)$

b）一旦我们知道了极点，哪种数值方案最适合积分围绕它的小圆圈？我应该在圆上使用高斯积分吗？还是应该使用点的均匀分布？

另一个选择可能是，一旦有了a）我就知道了极点，那么可能会有一些半解析的方式来获得残基，而无需复杂的集成。但是现在，我很乐意仅优化轮廓集成。

我可以为您的第一个问题提供建议：如果您知道极点在实轴上某处，则可以使用Rational插值/逼近相当有效地定位它们。这等于找到多项式和使得$p(x)$$q(x)$

对于在一些时间间隔。的极点应与的根匹配。$x$$f(x)$ $q(x)$

有理插值/逼近可能是一件棘手的事情，但是我最近与人合着了一篇关于稳定算法的论文，该论文使用SVD计算它们。本文包含Matlab代码实现的算法，以及其更广泛的版本可用的功能ratinterp在Chebfun项目，其中我的开发者之一。

对于您的第二个问题，本文可能会有用。