定点问题中的非单调收敛

背景

我正在从液体理论中解决Ornstein-Zernike方程的一个变体。抽象地，该问题可以表示为解决不动点问题，其中是一个积分代数算子，而是解函数（OZ直接相关函数）。我正在通过Picard迭代进行求解，在这里我提供了初始试验解决方案并通过方案生成了新的试验解决方案 其中是一个可调参数，用于控制和的混合甲Ç （[R ）Ç 0（[R ）ç Ĵ + 1 = α （甲Ç Ĵ）+ （1 - α ）Ç Ĵ，α Ç 甲Ç α ε Δ Ĵ + 1＆equiv; ∫ d → [R | c j + 1$A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$在下一个试用解决方案中使用。对于此讨论，我们假设的值不重要。我重复直到迭代收敛到期望的公差： 在我的问题变体中，取决于参数，而我的问题是关于的收敛性如何取决于此参数。$\alpha$$\epsilon$甲λ 甲Ç = $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

对于的宽范围值，上述迭代方案以指数形式快速收敛。但是，当我减小，最终会达到一种收敛非单调的状态，如下图所示。 $\lambda$$\lambda$

关键问题

在定点问题的迭代解中，非单调收敛是否有特殊意义？这是否表示我的迭代方案已接近不稳定？最重要的是，非单调收敛是否应该让我怀疑“收敛”解决方案不是定点问题的好解决方案？

假设是的解中未知的独立变量，则定点方法将从点收敛，条件是雅可比，其中是常量。通常，不是单点，而是迭代方案遍历的域。X = ˚F （X ）X * ∂ $x$$x=f(x)$$x^*$α<1X$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. 您的解决方案正在收敛，尽管不是单调的。检查Jacobian的值和解决方案变量的各种值，以查看是否从满足收敛标准转变为不满足收敛标准，这可能解释了您所看到的情况。$\lambda$

2. 如果您的解决方案已经收敛到正确建立的相对公差范围内，并且该公差也占很小的比例，那么它就可以了。