我如何近似不正确的积分？

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我有一个函数使得是有限的，我想接近这个积分。 $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

我对积分的正交规则和蒙特卡洛近似法很熟悉，但是在无限域中实现它们存在一些困难。在蒙特卡洛的情况下，如何去采样一个无限的区域（尤其是如果对积分有更大贡献的区域是未知的）？在正交情况下，如何找到最佳点？我是否应该简单地固定以原点为中心的任意大区域并应用稀疏正交规则？我怎样才能近似这个积分？

monte-carlo quadrature

— 保罗
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在一个维度上，您可以使用替换积分将无限区间映射到有限区间，例如

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

其中一些功能熄灭到无限远一些有限的范围，例如： $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

然后，您可以对修正的有限积分使用任何常规的数值正交例程。

多个变量的替换有些棘手，但在此处已进行了很好的描述。

— 佩德罗
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这非常有趣...我什至从未考虑过替代的可能性！可是功能选择

近似精度有影响吗？

u (t)

$u(t)$

— 保罗

@Paul：是的，绝对可以！函数

应该尽可能平滑，以保持

u (t)

$u(t)$

尽可能平滑，从而实现更精确的积分。

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro 2012年

是的，但是我想到的是u（t）收敛到无穷大的速率？这还会影响准确性吗？

— 保罗

1

@Paul：我不知道我是否正确理解了您的问题，但是该函数必须在一个或另一个点处无穷大。如果花费时间然后急剧增长，则将在

引入一些较大的梯度，这使得积分变得更加困难，从而可能影响精度。

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro 2012年

1

您对切线的推导是错误的；我修好了它。

— 2012年

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这样做的标准方法是从表达式中提取 $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

在 $R^3$ $e^{-|x|^2}$

在线公式位于http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

— 阿诺德·纽迈耶
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如果您的被积分数大致为exp（-x ^ 2），那将很好地工作。如果您的被积物近似正常，但偏心于原点，则此方法可能效果不佳。

— John D. Cook

1

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

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对于一维正交，您可以查看有关Quadpack的书（一本古老的旧书，但在一维正交方面还是很相关的），以及QAGI算法中使用的技术，QAGI是无限范围的自动积分器。

另一种技术是双指数正交公式，由Ooura很好地实现了无限间隔。

对于孵化，您可以咨询 Ronald Cools《保育库公式大全》。

— GertVdE
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2

注意，双指数正交本质上是一种替代方法。您进行了替换，将您的无限范围积分转换为另一个无限范围积分，其衰减率是双指数...

— JM 2012年

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@JM正确。然后，您可以像梯形法则那样从Euler-Mclaurin求和公式中获得最佳效果，IMT变换和TANH变换也是如此。可以在这里

— GertVdE 2012年

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$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— 沃尔夫冈·邦格斯
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如果要使用蒙特卡洛积分，则可以通过对样本进行近似采样来进行重要性采样。采样器与被积分越匹配，积分估计的方差越小。只要您的采样器具有相同的域，域就无穷大也没关系。

— 约翰·D·库克
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