使用时空并行的PDE计算示例

在初始边界值PDEs的数值解中，在空间中采用并行性是很常见的。在时间离散化中采用某种形式的并行性的情况要少得多，并且并行性通常受到更大的限制。我知道越来越多的代码和已发表的作品展示了时间并行性，但是它们都不包含空间并行性。

是否有在空间和时间上都包含并行性的实现示例？我对出版物和可用代码都感兴趣。

该PFASST（并联式近似方案在空间和时间）和PEPC（相当有效的并行库仑）算法，最近被一起使用，以实现在空间和时间上并行。

PFASST做时间并行，PEPC做空间并行。其结果最近在DD21大会上发表，我们已经为SC12准备了一份描述PFASST + PEPC组合的文件。

仅使用PEPC（即，仅在空间上平行），就显示了一个由400万个粒子组成的“小”问题（PEPC是平行的N体求解器）可以在JUGENE上很好地扩展至8192个核。除此之外，通信成本变得很高，并行效率开始下降。PFASST的添加使该固定大小的问题可以通过使用32个“时间”处理器（每个处理器由8192个“空间”内核组成）在262,144个内核上运行（即，我们填满了JUGENE）。

尽管时间并行算法的并行效率不是100％，但使用此PFASST + PEPC配置，使用32个PFASST处理器，我们可以获得约6.5倍的加速。

这是预印本的链接：大规模时空并行N体求解器

还有时空DG和连续Galerkin方法。选择正交后，在时间方向上具有结构化网格的时空DG等效于隐式Runge-Kutta方法。但是，时空DG方法允许在域的不同部分使用不同的步长，这种情况很难用隐式RK方法进行分析。时空多重网格方法也可以在这种情况下应用。

一旦考虑了时空并行模拟，子域就是多个时间级别上的时空。一种称为波形弛豫的方法利用时空子域，但仅在空间中并行化（时间维度无分区）。因此，空间分区和时间分区的笛卡尔式给出了一种时空并行性。您可以在此处找到有关这种笛卡尔方法的论文。正如杰德·布朗（Jed Brown）在回答中所提到的，时空方法不仅提供了更灵活的并行模拟，而且还提供了离散化的适应性。关于后一个主题，您可以搜索Schwab的作品，另请参见其项目。对于同时利用并行性和适应性的工作，您可以在R. Haynes的主页上观看。

看看Parareal算法及其相关的工作，例如频谱延迟校正（简单的Google搜索会发现很多内容）。基本思想是在时间上使用粗略的“网格”并执行粗略的时间步进，然后再遍历它，并在更精细的时间尺度上执行校正。它似乎主要用于流体模拟中，但是我在电磁学领域，所以我真的不能多说。我知道的唯一原因是因为我参加了关于延迟校正方法的研讨会，并且很有趣的是，任何类型的并行化都可以及时完成。

最佳控制中使用的多重拍摄方法经过设计，可以并行解决每个拍摄间隔上的子问题。我不知道将这些与空间并行性相结合的论文（在过去，方程是依赖于时间的空间PDE的情况下，解决了很多最优控制问题），但是很明显，如何在其中进行并行处理时间和空间。