用来量化三角形网格不规则性的常用指标

假设您在平面上有一个三角形网格。例如，这是为了最终解决力学中的某些问题而绘制的。

由于顶点之间和质心之间的距离始终相同，所以等边三角形的网格是最好的。这使得插值和梯度计算变得简单而准确。但是，由于种种限制和情况，并非总是能够对所有等边三角形的网格进行加工。

因此，问题涉及任意形状的三角形元素的网格。

关于单个网格元素。通常使用哪些度量来量化一个通用三角形与某些潜在的理想等边形状的相异性？

关于整个网格。哪些指标用于量化整体上任意三角形网格的不规则性？这些指标应指示网格的混乱程度。

感谢您的配合。

注意 来自有限元社区的所有贡献都得到了极大的赞赏。对于此问题，请注意，仅对几何形状（任意三角形与等边三角形）中的差异进行量化是很有意义的。对插值和条件误差的后续影响不在范围内。鉴于这些可以洞察力和相关性，它们使数学处理变得复杂。

就像@Nicoguaro和@Paul在问题贴的评论中说的那样，有很多方法可以做这种事情，而且我不确定是否有单一的“最佳”方法。

从伯克利的乔纳森·理查德·谢克（Jonathan Richard Shewchuck）的评论研究中，答案是：

请参考原始文档（2002年12月31日版）以获取符号，术语，特殊功能以及更多内容（例如，四面体）。第6章是关于质量措施。链接到的文档是扩展版本，在JRS的网页中也有一个简短的文档。

就个人而言，我是“卷长”指标的粉丝。它是（各向同性）单纯形质量的很好的鲁棒标量指标，并且计算便宜。二维：

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

哪里 $A$是三角形和的有符号区域 是均方根边缘长度。理想元素达到，随着失真增加，该值朝零减小。方向相反的反向元素。$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

为了评估非结构化三角剖分的质量，通常需要查看此类元素质量指标的直方图。这类事情的实现有很多，但是我的一个简单MATLAB代码库就在这里。

除体长分数外，默认情况下还计算元素角和顶点度的直方图。

我不认为这个问题总体上存在答案，因为这完全取决于网格的预期用途。例如，如果您要进行计算流体动力学，则可能需要在边界层附近有一个非常各向异性的网格。现在，如果您正在进行计算电磁学，则最佳网格可能会完全不同。

文献中有许多关于“网眼质量”标准的不同定义。他们中的大多数会喜欢带有等边三角形的网格。还可以提到最大化最小角度的想法（这是通过Delaunay三角剖分实现的，用于固定点集）。乔纳森·谢丘克（Jonathan Shewchuk）在评论中提到的分析证明了这一点的正确性，该分析将该角度与用P1元素离散化的拉普拉斯方程的刚度矩阵的条件数相关联，但同样，根据预期的用途，某人的良好网格可以是某人否则网眼不好。

我认为“纯粹量化几何差异（任意三角形与等边三角形）”是没有道理的：在测量三角形是否等边并确定哪种“偏差与等边性”是最好的三角形之前，有必要弄清楚我们是否想要“等边三角形”，并非总是如此！所有这些都来自您提到的“插值和条件”。是的，正如您所说的“它使数学处理变得复杂”，但如果没有它，就不可能在给定应用程序的客观标准与根本没有意义的标准之间有所区别。