密集病态矩阵的对角化

我正在尝试将一些稠密，病态的矩阵对角化。在机器精度方面，结果不准确（返回负特征值，特征向量不具有预期的对称性）。我切换到Mathematica的Eigensystem []函数以利用任意精度，但是计算速度非常慢。我愿意接受许多解决方案。是否有非常适合病态问题的软件包/算法？我不是预处理方面的专家，所以我不确定这有多大帮助。否则，我所能想到的就是并行化的任意精度特征值求解器，但是我对Mathematica，MATLAB和C ++并不熟悉。

为了提供一些有关此问题的背景，矩阵很大，但不是很大（最多4096x4096至32768x32768）。它们是实数，是对称的，特征值在0到1（不包括）之间，许多特征值非常接近0，没有一个接近1。矩阵本质上是卷积算符。我不需要对所有矩阵进行对角线化，但是我可以走的越大越好。我可以访问具有许多处理器和分布式计算功能的计算集群。

谢谢

计算SVD代替频谱分解。结果与精确算术相同，因为矩阵是对称正定的，但是在有限精度算术中，您将获得更小的特征值。

编辑：参见Demmel＆Kahan，《双对角矩阵的精确奇异值》，SIAM J. Sci。统计 计算 11（1990），873-912。
ftp://netlib2.cs.utk.edu/lapack/lawnspdf/lawn03.pdf

编辑2; 请注意，没有一种方法能够解析小于特征值约两倍于所使用机器精度的特征值，因为将单个条目更改一个ulp可能已经改变了一个很小的特征值。因此，以零个特征值代替非常小的特征值是适当的，并且没有任何方法（除非以更高的精度工作）会解开相应的特征向量，而只是返回公共数字零空间的基础。

谢谢你的建议。我尝试了Mathematica的SVD命令，但没有得到明显的改善（仍然缺少适当的对称性，“特征值”错误地归零，而之前错误地归零）。也许我需要实现您上面描述的一种算法，而不是内置函数？我可能希望避免麻烦使用这样的特定方法，除非我事先确定它将提供显着的改进。

@JackPoulson，我浏览了您引用的Jacobi方法的论文，看起来很有希望。您或任何人都可以推荐一种很好的方法来实现Jacobi的寻找本征系统的方法吗？我猜想如果我自己编写代码（在MATLAB中），那将非常慢。