时间维度为何如此特殊?


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总的来说,我听过数值分析家说过

“当然,从数学上讲,时间只是另一个维度,但时间仍然特殊”

如何证明这一点?在什么意义上时间对于计算科学而言特别?

而且,为什么我们经常喜欢对时间维使用有限差分(导致“时间步长”),而对空间维应用有限差分,有限元,频谱方法等呢?一个可能的原因是,我们倾向于在时间维度上具有IVP,而在空间维度上具有BVP。但是我不认为这完全有道理。

Answers:


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因果关系表明信息仅在时间上向前流动,因此应设计算法来利用这一事实。时间步进方案可以做到这一点,而全局时间频谱方法或其他思想则不能。问题当然是为什么每个人都坚持要利用这一事实-但这很容易理解:如果您的空间问题已经有一百万个未知数,并且您需要执行1000个时间步长,那么在当今的典型机器上,您就有足够的资源来解决空间问题本身一个接一个地步移,但是您没有足够的资源来解决109未知数的耦合问题。

实际上,这种情况也与运输现象的空间离散化没有太大区别。当然,您可以使用全局耦合方法离散纯一维对流方程。但是,如果您关心效率,那么最好的方法是使用下游扫描,该扫描将信息从域的流入部分传送到流出部分。这正是时间步调方案及时完成的​​工作。


这是一个好点...内存绝对是主要限制!:)
保罗

我肯定看到因果关系自然而然地产生了有限的差异,但没有“全局耦合”。相反,解决BVP的“射击方法”则相反。它引入了不必要的因果关系。从解析上来说,对于某些方程式(例如2阶双曲PDE),唯一性需要因果关系。但是,在某些情况下并非如此,我想那很可能也会及时采用频谱方法。正如您所说,我认为减小系统规模也是一个很大的问题。而且,与某些任意空间维度相比,及时进行FD更有意义。
Patrick

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与沃尔夫冈在他的帖子中提到的因果关系相似,从明可夫斯基时空的角度来看,我们可以看到时间维度之所以特别的原因:

在维时空已内积被定义为 如果和两个1- Minkowski时空中的形式: ,以类似的方式定义,即定义内部乘积(或更确切地说,度量)的直觉就是要施加绝对光速的概念,以使时空中的两个不同点(事件)的距离为零(恰好在“同一时间”,就像我们观察到数十亿光年远的星系运动一样,就像它们在移动一样现在)(如果它们位于同一光锥上)。3+1个

一种=一种XX+一种ÿÿ+一种žž-1个C2一种ŤŤ
一种一种=一种XdX+一种ÿdÿ+一种ždž+一种ŤdŤ

如您所见,由于存在由光速缩放的时间维,因此该内积不是正定的,因此从直觉上讲,当处理关于时空传播的量的问题时,我们不能简单地将定理应用于3到维时空的欧几里德度量,只需考虑3维椭圆PDE理论及其相应的数值方法就与双曲PDE理论大不相同。 C3+1个


也许是题外话,但时空与时空(椭圆形与双曲线)的另一个主要区别是,大多数椭圆方程组对平衡进行建模,椭圆性给我们“很好”的规律性,而双曲问题中存在各种不连续性(冲击,稀疏,等等)。

编辑:我不知道有什么关于差异的专门文章,除了给您定义之外,根据我之前学到的知识,典型的椭圆方程(如泊松方程或弹性)对静态现象进行建模,如果数据和感兴趣域的边界是“平滑的”,这是由于控制微分算子的椭圆性(或者说是正定性质),这种类型的方程式使我们得到了非常直观的Galerkin类型方法(乘以测试函数和积分)零件),典型的连续有限元效果很好。类似的东西也适用于抛物线方程,例如热方程,它本质上是随时间推移的椭圆方程,具有类似的“平滑”特性,随着时间的流逝,初始尖角将被平滑,

对于双曲问题,通常从守恒定律得出,是“保守的”或“分散的”。例如,线性对流方程描述了一个矢量场中的一定数量的流量,从而保留了该特定数量最初的样子,只是它沿着该矢量场在空间上运动,不连续点将会传播。Schrodinger方程是另一个双曲型方程,但是它是弥散的,它是复数的传播,非振荡的初始状态会随着时间的流逝而变成不同的振荡波包。

正如您提到的“时间步长”一样,您可以认为时间“场”中具有一定速度的“流量”是因果关系,与线性对流方程BVP非常相似,我们只需要施加流入边界条件,即,当流入感兴趣的域时,数量是多少,解决方案将告诉我们流出时的数量是什么,这一思想与使用时间步长的每种方法非常相似。解决空间中的二维对流方程就像解决时空中的一维单侧传播问题。对于数字方案,您可以在Google上查询时空FEM。


我必须说,您所说的大部分内容都超出了我的头。但是最后一段非常有趣,并且绝对可以提供见识。您是否有指向(时空)和(椭圆和双曲线)的链接?
Patrick

@Patrick感谢您的关注,我在答案中做了更多编辑。
曹书豪2012年

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尽管有一些例外情况(例如,完全离散的有限元方法),但时间离散化通常意味着信息流的内在顺序依赖性。这种依赖性限制了半离散算法(空间上为BVP,时间上为IVP)以顺序方式计算子问题的解决方案。这种离散化通常因其简单性而被首选,因为它为分析人员提供了许多成熟的算法,可以在空间和时间上实现更高的准确性。

也可以(更简单)在空间尺寸上使用有限差分,但是与有限差分方法相比,有限元方法在关注的域类型(例如非规则形状)上提供了更轻松的灵活性。空间离散化的“良好”选择通常非常依赖于问题。

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