可以轻易理解的论点是，普通的Runge-Kutta方法不能推广到SDE吗？

解决随机微分方程（SDE）的一种简单方法是：

采取常规的多步Runge-Kutta方法，
对基础的维纳过程进行足够精细的离散化，
使Runge-Kutta方法的每个步骤都类似于Euler-Maruyama。

现在，这在多个级别上都失败了，我明白了为什么。但是，现在我的任务是说服这个事实的人们，他们对Runge-Kutta方法和随机微分方程一无所知。我所知道的所有论点都无法在给定的上下文中很好地传达。因此，我正在寻找一个容易理解的论点，即上述方法注定要失败。

runge-kutta education stochastic-ode

— z
source

@BiswajitBanerjee：我知道这一点，我的确并没有声称我已经尽可能深入地了解了这一点。我仍然认为在此处提供所有论据不会改善答案，因为那些可以提供答案的人都知道它们。此外，这种情况有点特殊，因为它是解释为什么有些东西不能工作，对其中有自然有很多的答案，从“我们测试，它失败了。”

— Wrzlprmft

我并不是在谈论随机ODE的专家，而是在我说“我们”时理解随机变量和RK的普通读者。但是，如果您不想提供自己的想法的例子，我不会再打扰您。

— Biswajit Banerjee

让我们考虑一个随机微分方程：

X_{t} = f (t, X_{t}) d t + g (t, X_{t}) d W_{t}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

这是一些不同的论点，它们导致对为什么需要高阶方法背后的数学知识的直观理解。我将在强顺序方面进行讨论，这与说“对于给定的布朗运动，数值积分如何很好地解决该轨迹？”相同。 $W(t)$

方程的正则性

首先，您提出的方法无法考虑不可连续微分的事实。实际上，您可以使用Rossler的结果表明，扩展您建议的常规RK方法将导致收敛的方法，但它们的强阶数为0.5。原因是因为它们是使用微积分导出的，其中是可微的，并且具有泰勒级数。布朗运动是不可微的，而是具有的持有人连续性作为 $X_t$ $X_t$ $\alpha < 0.5$

但是，像微扰理论一样，不够规则的过程无法以泰勒级数展开，但是使用Holder正则可以将它们以Puiseux级数以，即在那里的布朗运动。是泰勒级数概念的扩展，它在派生类方面进行了扩展。像在常规演算中一样，第一个项是“线性项”，更改为，将为 $\alpha$ $\alpha$ $\frac{1}{2}$ $dt$ $\Delta t$ $dW_t$ $N(0,dt)$ 你会得到一些正确的东西。这就是为什么这些方法（包括Euler-Maruyama之类的方法）以强阶0.5收敛的原因：它们使Taylor级数的第一个项正确。但是，对于不可连续微分这一事实，高阶项需要进行校正，这就是为什么常规方法无法做到这一点。 $X_t$

瞬时相关和迭代积分

这是一个快速的启发式解释，但还有更多内容。让我们看看其他一些细节。泰勒级数不仅是在导数方面的扩展，而且还可以看作是要积分的高阶项的数量。积分一次。但是，如果您加上项，则为了获得正确的单位，您需要进行双积分。易于集成两次，但是什么是 $X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ $dt^2$ $dt^2$ $dW_t^i dW_t^j$ ？这些是布朗运动之间的瞬时相关性。您需要知道这一点才能计算双积分。如果您仅查看平均值，则可以禁用此值。但是在任何轨迹中，微分方程组的不同布朗运动之间都存在相关性。假设布朗运动之间没有相关性，这是表征确定性方法的Maruyama扩展的另一种方式，但是要获得系列中的下一项（1.0项），您必须正确。Milstein校正正好将这些相关项相加。当噪声为对角线时，这等效于理解除了自身之外没有任何相关性，但是与自己的相关性只是的方差，因此必须对进行校正。 $dt$ $dW_t^2$ 与，即。当存在非对角噪声时，必须对这些双积分进行近似，以便考虑布朗运动的瞬时相关性，并且此处的常见近似为Wiktorsson近似，这正是使非对角噪声模拟如此复杂的原因。（因为甚至没有对双积分的解析解）。 $dt$ $dW^2 - dt$

扩散的平均影响

但这使我们想到了另一种思考问题的方式。考虑到力矩的扩展，在某种启发意义上，一阶项，强阶1.0或项必须使平均运动正确，对吗？这是一个问题：的时间导数是什么？最简单的答案是按正常方式定义导数： $\mathcal{O}(\Delta t)$ $g$

但这在将放入SDE上下文中时实际上并不正确。如果我们根据变化来考虑的导数，由于它总是乘以该随机因子，所以它并不总是平均指向同一方向。问题是：此的平均大小是？扩散的平均变化范围为，因此实际上的影响更像 $g$ $g$ $X_t$ $dW_t$ $dW_t$ $\sqrt{\Delta t}$ $g(t,X_t)$

\frac{g (t + Δ t, X_{t + Δ t}) - g (t, X_{t})}{\sqrt{Δ t}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

您可以更严格地显示数值导数应为作为“时间上的预测变量”。 $X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

但是从直觉上讲，这只是了解对轨迹的平均影响：关于。在Runge-Kutta方法中，时间的内部步阶应该是的值的近似值，但是即使从这种关于扩散的快速物理启发式论点中，我们也可以看到平均来说，Runge-Kutta方法已经出错：大约错了 $g$ $X_t$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ $c_i$ $X_{t + c_i\Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ 这是另一种解释为什么最高强度为0.5的方法（令人惊讶的是方法仍然有效！但是您可以将其归因于RK方法的阶段总数必须为1的事实，因此该错误在某种程度上被消除了出来）。有趣的是，这种启发式的论点非常深入，因为像Rossler那样的高阶随机Runge-Kutta方法具有与精确相关的校正。 $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

结论

这是三种不同的启发式方法，可以理解为什么高阶必须涉及随机演算。高阶必须考虑到Holder规则性为1/2的事实，因此泰勒级数中存在其他项，它们必须考虑瞬时相关性，并且至少必须考虑扩散项的平均影响。否则，它们注定不正确于，而是仅满足第一项的“线性近似”并接收。 $\mathcal{O}(\Delta t)$ $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$

当然，在某些情况下，有一些方法可以找到给出高阶方法的适当概括，但是我将其保留为悬空线程，因为这是我即将提交的论文的重点。希望这可以帮助。

— 克里斯·拉考卡斯（Chris Rackauckas）
source