向量之间的角度数值稳定计算方法

当对两个向量之间的角度应用经典公式时：

α = \arccos \frac{v_{1} \cdot v_{2}}{‖ v_{1} ‖ ‖ v_{2} ‖}

$\alpha = \arccos \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}}{\|\mathbf{v_1}\| \|\mathbf{v_2}\|}$

人们发现，对于非常小的/锐角，会损失精度，结果也不准确。正如在解释这个堆栈溢出的答案，一个解决方案是使用反正切来代替：

α = \arctan 2 (‖ v_{1} \times v_{2} ‖, v_{1} \cdot v_{2})

$\alpha = \arctan2 \left(\|\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\|, \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} \right)$

这确实提供了更好的结果。但是，我想知道这是否会给非常接近角度带来不好的结果 $\pi / 2$ 。是这样吗如果是这样，是否有任何公式可以精确计算角度而无需检查if分支内的公差？

algorithms precision numerical-limitations

— 阿斯特罗胡安路
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这将取决于两个参数反正切函数的实现。缓慢，稳定的版本有条件地在使用x / y和y / x进行切换以保持精度，而快速的版本只是将事物粘在正确的象限中，因此没有比一个参数版本更精确的了。

— origimbo '17

您应该定义“精度损失”：假设正确的答案是，而是得到。您是否需要或足够？

α

$\alpha$

α + Δ

$\alpha + \Delta$

Δ ≪ α

$\Delta \ll \alpha$

Δ ≪ π

$\Delta \ll \pi$

— Stefano M，

在这种情况下，正确的答案是，我得到了，都为。

α

$\alpha$

α \cdot 10^{8}

$\alpha \cdot 10^8$

≪ 1

$\ll 1$

— astrojuanlu

Answers:

（我之前已经测试过这种方法，我记得它可以正常工作，但是我没有专门针对这个问题进行测试。）

据我所知，这两个 和如果几乎是平行/垂直的，则可能会遭受灾难性的取消-如果关闭任何一个输入，atan2都无法为您提供良好的准确性。 $\|\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2\|$ $\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2$

首先重新确定问题，即找到边长为的三角形的角度，和（所有这些均以浮点算术精确计算）。由于Kahan（错误计算针状三角形的面积和角度），Heron公式有一个著名的变体，它可以让您计算由边长指定的三角形的面积和角度（在和之间），并在数值上稳定。因为对该子问题的减少也很准确，所以该方法应适用于任意输入。 $a=|\mathbf{v}_1|$ $b=|\mathbf{v}_2|$ $c=|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$ $a$ $b$

引用该论文（请参阅第3页），假设，这里所有的括号都经过精心放置，很重要；如果您发现自己采用负数的平方根，则输入边的长度不是三角形的边的长度。 $a\geq b$

μ = {\begin{cases} c - (a - b), & if b \geq c \geq 0, \\ b - (a - c), & if c > b \geq 0, \\ invalid triangle, & otherwise \end{cases}

$\mu = \begin{cases} c-(a-b),&\text{if }b\geq c\geq 0,\\ b-(a-c),&\text{if }c>b\geq 0,\\ \text{invalid triangle},&\text{otherwise} \end{cases}$

a n g l e = 2 \arctan (\sqrt{\frac{((a - b) + c) μ}{(a + (b + c)) ((a - c) + b)}})

$\mathrm{angle} = 2\arctan\left( \sqrt{\frac{((a-b)+c)\mu}{(a+(b+c))((a-c)+b)}} \right)$

Kahan的论文对此作了解释，其中包括其他公式无法使用的值的示例。您的第一个公式是 4页上。 $\alpha$ $C''$

我建议使用Kahan的Heron公式的主要原因是因为它是一个非常漂亮的基元-可以将很多潜在棘手的平面几何问题简化为找到任意三角形的面积/角度，因此，如果您可以将问题简化为一个不错的稳定公式，无需您自己提出任何建议。

编辑根据Stefano的评论，我绘制了，（代码）的相对误差图。这两行是和的相对误差，沿水平轴移动。似乎可行。 $v_1=(1,0)$ $v_2=(\cos\theta, \sin\theta)$ $\theta=\epsilon$ $\theta=\pi/2-\epsilon$ $\epsilon$

— 基里尔
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感谢您的链接和答案！不幸的是，我写的第二个公式没有出现在文章中。另一方面，此方法可能会有点复杂，因为它需要2D投影。

— astrojuanlu

@astrojuanlu这里没有2d的投影：无论两个3d向量是什么，它们在它们之间都定义了一个（平面）三角形-您只需要知道其边长即可。

— 基里尔

您说得对，我的评论没有道理。我在考虑坐标而不是长度。再次感谢！

— astrojuanlu

@astrojuanlu我还要注意一件事：似乎有一个正式的证明，该区域公式在如何计算三角形的面积中是正确的：使用Flocq 的形式重访 Sylvie Boldo。

— 基里尔

很好的答案，但我认为您始终可以在浮点算法中准确计算。实际上，如果则在计算的分量时会发生灾难性的取消。

c

$c$

c < ϵ \cdot min (a, b)

$c < \epsilon \cdot \min(a,b)$

(v_{1} - v_{2})

$(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)$

— Stefano M，

Velvel Kahan在另一个说明中，对此问题的有效答案并不奇怪：

α = 2 \arctan (‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} + \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖, ‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} - \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖)

$\alpha=2\arctan\left(\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}+\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|,\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}-\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|\right)$

我用作为与水平轴的夹角。（您可能必须在某些语言中翻转参数的顺序。） $\arctan(x,y)$ $(x,y)$

（我在此处对Kahan的公式进行了Mathematica演示。）

— JM
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您的意思是吗？

\arctan 2

$\arctan2$

— astrojuanlu

我习惯于将两个参数的反正切描述为，是的。在FORTRAN之类的语言中，等价于。

\arctan (x, y)

$\arctan(x,y)$ ATAN2(Y, X)

— JM