有什么方法可以解决可压缩的欧拉方程

我想为可压缩的Euler方程编写自己的求解器，最重要的是，我希望它在所有情况下均能正常运行。我希望它是基于FE的（DG可以）。有哪些可能的方法？

我知道要进行零阶DG（有限体积）处理，并且应该非常可靠。我已经实现了基本的FVM求解器，并且效果很好，但是收敛速度很慢。但是，这绝对是一种选择。

我为线性化的Euler方程实现了FE解算器（适用于任何网格和任何元素的多项式阶数），但是我得到了虚假的振荡（最终爆炸了，因此无法使用它来解决我的问题），我在文献中读到，需要稳定它。如果我实施某种稳定化处理，那么对所有问题（边界条件和几何形状）都可以有效地发挥作用吗？收敛速度是多少？

除此之外，欧拉方程还有其他健壮的方法（即具有一定稳定性的高阶DG）吗？

我知道许多人在研究代码中尝试了许多不同的方法，但是我对一种适用于所有几何形状和边界条件的健壮方法感兴趣（编辑：在2D和3D中）。

解决双曲线PDE的非线性一阶系统（例如Euler方程）（对于可压缩的无粘性流）的主要数值困难是，即使初始数据是平滑的，在有限的时间之后，解决方案中也会出现不连续性（冲击波）。为了解决这个问题，大多数现代代码都使用

• 斜率（或通量）限制器，提供一种在不连续点附近精确计算导数的方式，而不会引入寄生振荡；和
• 近似Riemann求解器，局部（在每个网格边缘/面处）使用分段恒定的初始数据和单个不连续性来求解初始值问题。

存在包含限制器和Riemann求解器的有限差分（FD），有限体积（FV）和有限元（FE）离散化，并且所有这些离散化都可以做到高精度，至少可以避免受到冲击。因此，断然地说有限元方法的收敛速度要快于FV方法，这是没有意义的-如果使用可比较的阶数离散化，它们将是可比的。

在有限元方法中，不连续的Galerkin方法在这里最合适，因为解决方案实际上是不连续的。如果您想自己实现，我建议您阅读此评论文章，并获得Hesthaven＆Warburton的文本副本，以了解基本知识。在DG上有很多关于可压缩流的论文。

如果您愿意使用其他人的代码，并且由于我知道您使用Python，则可以看看Andreas Kloeckner的Hedge代码，该代码具有Python界面并且可以在GPU上运行。可能还有其他良好的DG代码，以及许多良好的FV代码（例如Clawpack，它也具有Python接口）。

也有更新的高阶方法，例如光谱差异。有关最新观点，请参见Cheng＆Shu 2009，《 CFD高阶方案：回顾》或Ekaterinaris，2005，《空气动力学的高阶准确，低数值扩散方法》。