解决巨大的密集线性系统？

使用迭代方法有效解决以下线性系统是否有希望？

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

与

，其中 Δ是非常稀疏的矩阵与几个对角线，从拉普拉斯算子的离散化所产生。在它的主对角线上有 − 6，还有 6对其他对角线上有 1。$A=(\Delta - K)$$\Delta$$-6$$6$$1$

是一个完全由1组成的完整 R n × n矩阵。$K$$\mathbb{R}^{n \times n}$

解决与高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）之类的迭代方法很好地工作，因为它是稀疏的对角占优矩阵。我怀疑对于大量n来说，问题A = （Δ - K ）几乎不可能有效地解决，但是，利用K的结构，是否有任何技巧可以解决呢？$A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

编辑：会做类似的事情

//求解 X ķ + 1与高斯-塞德尔$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$$x^{k+1}$

收敛到正确的解决方案？我读，这样的分裂法收敛如果，其中ρ是频谱常态。我人工计算的本征值Δ - 1 ķ用于一些不同的小值Ñ，他们是除了一个具有相当高的负值所有零。（n = 256时约为500 ）所以我想那行不通。$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

编辑：有关更多信息$\Delta$：

是对称的，并且是负定和对角占优。$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

它是通过以下方式在Matlab中创建的

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• 使用边框系统

$$\newcommand\ee{\mathbf{e}} M = \begin{pmatrix} \Delta & \ee \\ \ee^T & 1 \end{pmatrix}$$

其中是包含所有的列向量，并求解系统$\ee$

$$M \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{b} \\ 0 \end{pmatrix}$$

使用迭代或直接求解器。

• 使用Krylov方法，并将矩阵用作（即稀疏矩阵加秩1校正。使用现有的前置条件，或，特别是如果您想对使用直接求解，请使用Sherman-Morrison公式对其进行更新。$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$