在有限差分和有限元素之间选择的标准是什么

我习惯在有限的网格上将有限差分视为有限元的一种特殊情况。那么，如何在有限差分法（FDM）和有限元方法（FEM）之间进行数值选择的条件是什么？

在有限差分法（FDM）方面，可以认为它们在概念上比有限元方法（FEM）更简单，更容易实现。FEM具有非常灵活的优势，例如，网格可能非常不均匀，并且域可能具有任意形状。

我知道FDM优于FEM的唯一例子是在 Celia，Bouloutas，Zarba，那里的收益归功于FD方法使用不同的时间导数离散化，但是对于有限元方法可以固定。

可以将某些特定的有限差分方法编写为Petrov-Galerkin有限元方法，并且可以选择局部重构和正交运算，并且大多数有限元方法也可以证明在数学上等同于某些有限差分方法。因此，我们应该基于要使用的分析框架，喜欢的术语，喜欢的可扩展性系统以及想要构建软件的方式来选择一种方法。下列概括适用于绝大多数实际用途，但可以避免许多要点。

有限差异

优点

• 高效的无正交实现
• 某些方案的纵横比独立性和局部守恒（例如，不可压缩流的MAC）
• 鲁棒的非线性运输方法（例如，ENO / WENO）
• M-矩阵的一些问题
• 某些问题（例如模拟有限差分）的离散最大原理
• 对角（通常是恒等）质量矩阵
• 廉价的节点残差可实现有效的非线性多重网格（FAS）
• 单元式Vanka平滑剂可提供高效，无基质的平滑剂，用于不可压缩的流动

缺点

• 更难实施“物理学”
• 交错网格有时非常技术性
• 在非结构化网格上要高于二阶是困难的
• 没有Galerkin正交性，因此收敛可能更难证明
• 不是Galerkin方法，因此离散化和伴随不算通（与优化和反问题有关）
• 自伴连续谱问题通常产生非对称矩阵
• 解决方案仅是逐点定义的，因此在任意位置的重建不是唯一定义的
• 边界条件实施起来往往很复杂
• 不连续系数通常使方法成为一阶
• 如果物理包含“交叉项”，则模板将增加

有限元

优点

• Galerkin正交性（对强制性问题的离散解在该空间内最佳解的常数之内）
• 简单的几何灵活性
• 不连续的Galerkin提供了可靠的传输算法，可以在非结构化网格上执行任意顺序
• 保证稳定性的单元熵熵不依赖于网格，尺寸，精度等级和不连续解的存在，而无需非线性限制器$L^2$
• 易于实施边界条件
• 可以通过选择测试空间来选择保护声明
• 离散化和伴随通勤（对于Galerkin方法）
• 功能分析的基础
• 在高阶情况下，本地内核可以利用FD缺少的张量积结构
• Lobatto正交可以使方法节能（假设辛辛的时间积分器）
• 只要您可以与边界对齐，即使具有不连续的系数也可以实现高阶精度
• XFEM可以容纳单元内部的不连续系数
• 易于处理多个注入条件

缺点

• 许多元素在高宽比方面都有问题
• 连续有限元法在运输过程中遇到麻烦（SUPG扩散且振荡）
• DG通常具有相同精度的更多自由度（尽管HDG更好）
• 连续有限元法不提供廉价的节点问题，因此非线性平滑器的常数要差得多
• 通常在组装矩阵中有更多非零
• 必须在一致的质量矩阵（一些不错的属性，但具有完全逆的矩阵，因此需要在每个时间步中进行隐式求解）和集总质量矩阵之间进行选择。

这个问题可能范围太广，无法给出有意义的答案。大多数回答的人只会熟悉可能使用的所有FD和FE离散化的某些子集。请注意，FD和FE

• 可以在结构化或非结构化网格上实现（仅在非结构化网格上查看FD方法的一个示例，请参见本文）
• 可以扩展到任意高的精度等级（通过许多方式！）
• 可以用来离散空间和/或时间，也许可以组合使用
• 使用局部或全局基函数（后者导致FD和FE类型的光谱方法）
• 可以基于连续或不连续的函数空间
• 可以在空间上显式或隐式
• 可以是时间上显式或隐式的

你明白了。当然，在特定学科中，人们通常实现和使用的FD和FE方法可能具有非常不同的功能。但这通常不是由于两种离散化方法的任何固有限制。

关于任意高阶FD方案：可以针对任何阶数自动生成高阶FD方案的系数；例如，请参阅LeVeque的书。光谱配置方法（即FD方法）将比网格间距的任何幂次收敛更快。例如，请参阅Trefethen的书。

有限元（FE）的优点：

• 变分法（例如，对于Schroedinger方程，能量总是随着“ p”的增加而下降，而对于FD则不是如此）
• 高阶时准确（p = 50更多）
• 一旦实施，就很容易在“ p”和“ h”中进行系统收敛（这与针对每个阶的特殊FD方案相对）

有限差分（FD）的优点：

• 较低订单更易于实施
• 对于较低的精度，可能比FE更快

有时人们说“有限差异”是指Runge-Kutta或Adams方法之类的ODE积分器。在这种情况下，FD还有另一个优点：

• 可以直接求解非线性ODE

而有限元需要一些非线性迭代，例如牛顿法。

几个不错的答复已经表明有限元方法的优点是灵活而强大的，从Sobolev空间和微分几何学的角度来看，在这里我将给出FEM的另一个优点是，有限元空间可能继承了有限元方法的物理连续性条件。真正的解决方案所在的Sobolev空间。

例如，用于平面弹性的Raviart-Thomas面元，以及用于扩散的混合方法；Nédélec边缘单元，用于计算电磁学。

通常，PDE的解是微分$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

运算符的范围是下一个运算符的空空间，对此有很多不错的属性，如果我们可以构建一个有限元空间来继承此de Rham精确序列，则基于该有限元空间的Galerkin方法将稳定，并会收敛到真正的解决方案。只需通过de Rham序列的换向图就可以得到插值算子的稳定性和逼近性，此外，我们还可以基于该序列建立后验误差估计和自适应网格细化程序。

有关此内容的更多信息，请参见Douglas Arnold在Acta Numerica中的文章：“ 有限元外部演算，同源技术和应用程序 ”，以及一张幻灯片，简要介绍了该思想。

区分时空方案非常重要。

有限元通常使用有限差分来整合时间项（例如，用于瞬时扩散的显式Euler，隐式，Crank-Nicholson或Runga Kutta）和用于空间离散化的有限元。

有限元非常适合不规则网格。它们可以基于变分原理，但通常使用加权残差法将其概括。开发使用不同多项式阶数并使用Lagrange乘法器强制执行不可压缩性等约束的元素库很容易。

两种表达方式都是达到目的的手段：用方程组和线性代数表示微分方程。

关于一种方法相对于另一种方法的速度的陈述需要通过描述算法来限定。例如，将机械问题转换为双曲线动力学问题在某些情况下可以给出更快的结果，因为它们用乘法和加法代替了矩阵分解。

我承认，我对有限元方法的了解要比对有限差分的了解多得多。FEM有商业包装，可广泛用于工业和学术界，以解决固体力学和传热方面的问题。我相信在计算流体动力学中使用有限差分或有限体积方法。