牛顿法的吸引盆

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众所周知，当开始猜测“足够接近”解时，牛顿求解非线性方程的方法会二次收敛。

什么是“足够接近”？

是否有关于该吸引力盆地结构的文献？

iterative-method convergence nonlinear-equations

— 大卫·凯奇森
source

根应隔离（不能多个）。如果Hessian在该区域内是一致确定的（上下凹），那么您应该很好。当然，凭经验保证或测试这些条件通常是不切实际的。

— hardmath 2012年

前几天，我在NA-Digest中看到了这个问题，并认为它很有趣。显然，我不是唯一的一个人：-)

— Wolfgang Bangerth，2012年

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对于复数域中的一个有理方程，吸引盆是分形的，即所谓的Julia集的补充。http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set。有关带有一些不错的在线数字的理论，请参见例如
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

甚至对于的“全局”阻尼牛顿法也具有分形吸引盆。参见http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002。 $x^3-1=0$

因此，详细说明什么“足够接近”解决方案毫无意义。如果知道二阶导数的界线，则存在牛顿-坎托罗维奇定理，该定理给出了球半径的下界，牛顿方法收敛于该下界，但在一维中，这些界线趋于悲观。

可以使用区间算术来获得计算上有用的边界。参见，例如，我的论文
Shen Zuhe和A. Neumaier，Krawczyk算子和Kantorovich定理，J。Math。肛门应用 149（1990），437-443。
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— 阿诺德·纽迈耶
source

仅在复平面上具有分形吸引盆。在实线上，任何初始猜测

都可以（一旦

，收敛将是单调下降，并且二次速率将很快出现）。

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

— hardmath 2012年

1

@hardmath：是的，但是复数方程变成2个变量中的两个实方程，同样适用。

— 阿诺德·纽迈耶

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考虑到它产生了一类分形，很难描述“足够接近” 。具有全球化策略的牛顿方法（例如线搜索和信任区域）扩大了吸引力范围。如果可以使用其他问题结构（例如在优化中），则可以进一步削弱收敛所需的假设。

— 杰德·布朗
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出于好奇，您是否有任何示例“如果存在其他问题结构（例如优化），则可以进一步削弱收敛所必需的假设”。

— vanCompute 2012年

@vanCompute请参阅此示例，以获取与优化有关的示例，其中对象功能提供了在一阶最优性条件下丢失的信息。另一种形式是知道一定的连续性（伪瞬态，参数，网格等）总是会聚的，但是如果直接尝试解决问题，则残差可能必须先增加才能达到解。

— 杰德·布朗

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牛顿法应用于复多项式有一些有用的结果。

$f$

[R = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

安东尼·曼宁（Anthony Manning）在“ 如何确保使用牛顿方法找到复多项式的根”（定理1.2）中给出了其他明确的界限。

另请参见如何通过Hubbard等人的牛顿方法找到复多项式的所有根。
发明。数学。146（2001），没有。1，1–33。pdf格式

— h
source

改编自math.stackexchange.com/a/1038487/589。

— lhf 2014年