对于数字积分器，“折衷”是什么意思，SciPy的odeint是否使用它们？

在此评论中，我写道：

...默认的SciPy积分器，我假设它仅使用辛方法。

在这里，我指的是SciPy odeint，它使用“非刚性（Adams）方法”或“刚性（BDF）方法”。根据消息来源：

def odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0,
           ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0,
           hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12,
           mxords=5, printmessg=0):
    """
    Integrate a system of ordinary differential equations.

    Solve a system of ordinary differential equations using lsoda from the
    FORTRAN library odepack.

    Solves the initial value problem for stiff or non-stiff systems
    of first order ode-s::
        dy/dt = func(y, t0, ...)
    where y can be a vector.
    """

这是一个示例，其中我将卫星的轨道绕地球传播了三个月，以证明它的进动符合预期。

我相信非辛格积分器具有不良的性质，即它们往往不节约能量（或其他数量），因此在例如轨道力学中是不良的。但是我不确定是什么使辛格积分器辛辛格提。

是否有可能以一种简单明了（很简单）但又不准确的方式来解释该属性是什么（使辛格积分器成为辛格）？我是从集成器内部功能而不是测试性能方面来询问的。

我odeint仅使用辛辛苦积分器的怀疑是正确的吗？

让我从更正开始。不，odeint没有任何辛的积分器。不，辛辛苦作并不意味着节约能源。

辛是什么意思，什么时候应该使用它？

首先，辛是什么意思？辛表示该解存在于辛流形上。辛流形是由2形式定义的解集。辛流形的细节听起来像是数学上的废话，因此其要旨是在这种流形上的两组变量之间存在直接关系。之所以对物理学如此重要，是因为哈密顿方程自然具有这样的解：解位于相空间中的辛流形上，而自然分裂是位置和动量分量。对于真正的哈密顿解，该相空间路径是恒定能量。

$\mathcal{O}(\Delta t^n)$$n$

这意味着，由于缺乏漂移并且几乎保证了周期性，因此辛辛积分器比常规积分器更容易捕获长时间模式。该笔记本在开普勒问题上很好地显示了这些属性。第一张图片显示了我在谈论解决方案的周期性。

这是使用Kahan的六阶辛积分器和DifferentialEquations.jl的Li求解的。您会看到能量不是完全守恒的，但是其变化取决于扰动解歧管与真实歧管的距离。但是，由于数值解本身位于辛流形上，因此它趋于几乎完全是周期性的（您可以看到一些线性数值漂移），从而使其对于长期积分非常有用。如果您对RK4进行相同操作，则可能会遇到灾难：

您可以看到问题在于数值解中没有真正的周期性，因此加班会趋于漂移。

这凸显了选择辛积分器的真正原因：辛积分器擅长于对具有辛性质的问题（哈密顿系统）进行长时间积分。因此，让我们来看几件事。请注意，即使在辛问题上，您也不总是需要辛积分器。对于这种情况，自适应五阶Runge-Kutta方法可以很好地完成工作。这里是Tsit5：

注意两件事。第一，它具有足够好的精度，您无法在相空间图中看到实际的漂移。但是，在右侧您会看到这种能量漂移，因此，如果您进行足够长的积分，则此方法将不如具有周期特性的求解方法那样好。但这提出了一个问题，即相对于非常精确地集成，它如何实现效率？好吧，这还不太确定。在DiffEqBenchmarks.jl中，您可以找到一些基准调查此问题。例如，这个笔记本通过四重Boson模型研究了汉密尔顿方程组的能量误差与运行时间的关系，结果表明，如果您想要非常高的精度，那么即使是相当长的积分时间，使用高阶RK或Runge-Kutta Nystrom（ RKN）方法。这是有道理的，因为要满足辛特性，积分器必须放弃一定的效率，并且必须在固定的时间步长上进行（有一些研究正在朝着后者迈进，但步伐还不是很远）。

此外，从这两个笔记本中都可以注意到，您也可以只采用一种标准方法，并将其投影到解决方案的每个步骤（或每几个步骤）中。这就是使用DifferentialEquations.jl ManifoldProjection回调的示例所执行的操作。您会看到维护守恒定律，但每步解决一个隐式系统的成本都增加了。您还可以使用完全隐式ODE求解器或奇异质量矩阵添加守恒方程，但是最终结果是，这些方法的折衷方式在计算上更加昂贵。

综上所述，您想要找到一个辛积分器的问题类别是那些在辛流形（哈密顿系统）上具有解决方案的问题，在这些问题中您不想投资计算资源来拥有一个非常精确的（公差<1e-12）解决方案，不需要精确的能源/等。保护。这凸显了所有这些都是关于长期集成特性的，所以您不应该像一些文献所建议的那样，将所有这些都随意地吸引。但是在许多领域（例如天体物理学）中，它们仍然是非常重要的工具，在这些领域中，您确实需要进行长时间的积分，因此您需要以足够快的速度解决问题而又不会缺乏准确性。

在哪里可以找到辛积分器？存在什么样的辛积分器？

通常有两类辛积分器。有辛格的Runge-Kutta积分器（如上述示例所示），并且隐性的Runge-Kutta方法具有辛的性质。如@origimbo所述，辛辛格的Runge-Kutta积分器要求您为它们提供分区的结构，以便它们可以分别处理位置和动量部分。但是，与该评论相反，隐式Runge-Kutta方法是辛的，不需要这样做，而是需要求解非线性系统。这并不算太糟糕，因为如果系统不是刚性系统，则可以通过函数迭代或安德森加速来解决该非线性系统，但是辛辛RK方法可能仍应优先考虑提高效率（

就是说，odeint没有这两个系列中的任何一个方法，因此，如果您正在寻找辛积分器，那不是一个好的选择。在Fortran中，Hairer的站点有一小组可以使用。Mathematica有一些内置的。GSL ODE求解器具有 IIRC是辛的隐式RK高斯点积分器，但这是使用GSL方法的唯一原因。

但 ，最全面的辛积分器集可以在Julia的DifferentialEquations.jl中找到（回想起这是用于上面的笔记本）。本页上提供了可用的辛格Runge-Kutta方法的列表，您会注意到隐式中点方法也是辛的（隐式Runge-Kutta Trapezoid方法被认为是“几乎辛”的，因为它是可逆的）。它不仅具有最大的方法集，而且是开源的（您可以使用高级语言查看代码及其测试），并且具有许多基准。一个很好的入门笔记本，可以用它来解决身体问题，是本教程笔记本。但是当然，建议您通过第一个ODE教程开始使用该软件包。

通常，您可以在此博客文章中找到有关数值微分方程组的详细分析。它非常详细，但是由于它必须涵盖很多主题，因此每个主题的细节都比此要少，因此可以随时要求以任何方式进行扩展。

$\mathbf{p}$$\mathbf{q}$$\mathcal{H(\mathbf{p},\mathbf{q})}$

就数值而言，辛积分器以相同的方式起作用，也保留了该面积/两种形式。反过来，这意味着存在一个守恒的“数字哈密顿量”（可能与确切的“哈密顿量”不同）。请注意，稳定性与精度是不一样的，因此辛格方法的大部分优点是在很长的时间积分时才会显现出来（例如，您的方法可能会将卫星迅速放置在地球的反面，而永远不会使其衰减到它）。