和的特征值分解：A（对称）+ D（对角线）

假设是一个实对称矩阵和它的本征值分解中给出。很容易看出，总和的特征值会发生什么，其中是标量常数（请参阅此问题）。我们可以得出在一般情况下任何结论，其中是任意的对角矩阵？谢谢。 $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

问候，

伊万

linear-algebra

— 伊万
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如果你指定你感兴趣的是什么类型的结论可能会取得更好的答案。

— 大卫Ketcheson

@DavidKetcheson，是的，您绝对正确。实际上，我试图找到一种有效的方法来计算形式为的矩阵指数序列，其中是固定的，而是对角矩阵。我希望只执行一次的特征值分解，然后以某种方式使用它来解释对角矩阵引入的校正。不幸的是，和通常不进行通勤，因此。如果您能分享任何想法，我将不胜感激。谢谢。

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$

— 伊万

— Geoffrey Irving

Answers:

除了一般性，例如特征值随的输入而连续变化之外，其他人可以说的很少。 $D$

通过2 x 2情况下的符号计算，您可以看到不会出现强的现象。

— 阿诺德·纽迈耶
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谢谢您的答复，我知道我会听到类似的声音。请允许我看看上面的评论。

— 伊万

计算矩阵指数的复杂度与计算谱分解的复杂度大致相同。因此，没有简单的解决方案。但是，如果对角矩阵位于lowD子空间中，您可以执行以下操作来为空间中分布良好的多个特定选择计算指数的相关部分（或者实际上是要从中进行计算的任何内容）的期望值，然后使用插值算法来近似所有其他值。

— 阿诺德·纽迈耶

是的，我知道频谱分解并不便宜，我的意思是，如果这样的分解只需要对执行一次（这样做，就是），并且所有指数可以从这种单一分解中以某种方式导出，因此采用它是合理的。否则，我很肯定这是浪费时间。感谢您提出关于插值的建议，我需要阅读一下。

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

— 伊万

我想说的是，如果发生变化时，如果有一种更便宜的计算指数的方法，那么特征值问题也将有一种。但是没有一个。

D

$D$

— 阿诺德·诺伊迈耶

Ming Gu和Stanley C. Eisenstat之前已经研究过此问题，请参见链接：http : //www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

本文解决了秩置换问题，在此无法解决该问题。如果有人遇到秩置换问题，那么它会有所帮助。

— Skyuuka
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添加对角矩阵不是排名第一的校正，因此我不确定本文在这种情况下如何提供帮助。

— 克里斯蒂安·克拉森2013年

@ChristianClason：对！我才意识到。感谢您指出！

— 2013年