哈密顿矩阵的矩阵指数

令为实，平方，密矩阵。和是对称的。让 $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} A & - G \\ - Q & - A^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

是哈密顿矩阵我想计算的矩阵指数。我需要完整的矩阵指数，而不仅是矩阵向量积。是否有专门的算法或库可用来计算哈密顿矩阵的指数？ $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— 马克斯·贝尔
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你想矩阵指数本身，还是你真的只是想解决的ODE

？

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

我需要矩阵指数本身。但等效我可以解决ODE

。

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr

Benner的保结构特征求解器可以处理相似度转换，以简化矩阵指数计算。

— 打击乐器

@RichardZhang残酷的方法是QZ分解。例如，从link.springer.com/article/10.1007/s002110050315检查以获取更多详细信息。

— 打击乐器

该文件19可疑的方法来计算一个矩阵的指数，25年后覆盖很多不好的（和几个不错的）方法来计算矩阵指数。它不是专门针对哈密顿量的问题，但是，如果您正在研究这类问题，它确实很有价值。

— Daniel Shapero

Answers:

很快的答案...

哈密顿矩阵的指数是辛的，您可能希望保留该属性，否则，您将仅使用非结构保留方法。实际上，使用结构化方法并没有真正的速度优势，只是结构保留。

解决问题的一种可能方法如下。先找到一个辛矩阵使得是哈密顿和块上三角，和具有在左半平面的特征值。例如，可以通过取来获得此矩阵，其中求解与相关的Riccati方程 $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ ，或者（更稳定的，因为它是正交的）通过重新排序的Schur分解和施加劳布特技（即，代替单一的Schur因子与）。如果哈密顿量在虚轴上具有特征值，您可能会遇到麻烦，但这是一个很长的故事，现在我想在您的问题中不会发生。 $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

$M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

\exp (\hat{H}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{A}) & X \\ 0 & \exp (- {\hat{A}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - \exp (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

那么这三个因素恰好是辛的。只需单独使用它们：不要计算乘积，否则您将在数值上失去此属性。

— 费德里科·波洛尼（Federico Poloni）
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H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ 来自一个积分方程，该方程还将解释它们的致密结构和压缩潜力（取决于内核）。

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

这种方法的缺点：

依赖于的有效表示 $A$ $G$ $Q$
不利用哈密顿结构

正面：

矩阵指数的压缩表示形式，尽管它仍然是一个矩阵，而不仅仅是做MVP的一种方式
线性对数复杂度（假设存在低阶假设）
库可能会利用块中的转置和对称性

— 安东·门绍夫
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