在哪些应用案例中加性预处理方案优于乘法式预处理方案？

在域分解（DD）和多网格（MG）方法中，可以将块更新或粗略校正的应用组合为加法或乘法。对于逐点求解器，这是Jacobi和Gauss-Seidel迭代之间的差异。为乘法平滑充当小号（X ø 升d，b ）= X Ñ ë 瓦特当施加$Ax = b$$S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

然后将添加剂平滑剂应用为

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

对于一些阻尼。普遍的共识似乎是乘法平滑器具有更快的收敛特性，但是我想知道：在什么情况下这些算法的加性变量的性能更好？$\lambda_i$

更具体地说，是否有人在使用案例中，加性变量应该和/或确实比乘法性变量好得多？有理论上的原因吗？多数有关多重网格的文献对“可加”方法相当悲观，但在DD上下文中，它作为加性Schwarz被大量使用。这也扩展到了组成线性和非线性求解器的更普遍的问题，以及哪种类型的结构将表现良好并可以并行地表现良好。

附加方法公开更多的并发性。如果可以使用并发，它们通常仅比乘法方法快。例如，多网格的粗糙级别通常受延迟限制。如果将粗略级别移至较小的子通讯器，则可以独立于较细级别解决它们。使用乘法方案时，所有过程都必须等待，才能解决粗糙级别。

同样，如果算法需要在每个级别上进行缩减，则在强制采用乘法方法顺序执行它们的情况下，加性变量可能能够合并它们。

对于SPD问题，由于前面已经提到的几个原因，还有一些其他方法可以使MG平滑的加性方法更好：

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

但是，对于MG平滑器，乘法方法确实具有开箱即用的正确光谱特性，也就是说，它们不需要阻尼。对于多项式平滑不是很好的双曲问题，这可能是一个巨大的胜利。

我将重申@Jed所说的话：乘法方法至少总是与加法方法（渐近地）收敛，因此您只能基于并发获胜，但这取决于体系结构。