当具有自治性时，常微分方程数值近似系统是否存在捷径？

解决ODE的现有算法处理函数，其中。但是在许多物理系统中，微分方程是自治的，因此，，而忽略。通过这种简化的假设，可以在现有的数值方法中看到哪些改进？例如，如果，则问题变为，我们转向一类完全不同的算法来集成一维积分。对于，最大可能的改进是减小的维数ÿ∈[RÑd$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$Ý∈[RÑ吨Ñ=1吨=∫d$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ n>1$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$通过1中，由于随时间变化的情况下，可以通过追加模拟到，改变的结构域从到。y y R n R n + $t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

我要说的一个重大改进是，在时间步进方法的范围内，使用解决方案图U传播$y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$，您可以确定传播子（或至少部分传播子）它）一次，然后在每个时间步骤重复使用它。$\mathcal{U}$

例如，在线性情况下，您将具有，其中是矩阵。解算子主要由矩阵指数组成。对于自治系统，此昂贵的矩阵指数评估仅需要一次即可完整传播，而与时间相关的系统不同，在该系统中，您必须在每个时间步长执行此评估。$\partial_t y = A y$$A$$\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$

对于非线性系统而言，这并非易事，但根据算法，可以重复使用某些昂贵的评估。