具有已知边界的多维积分的数值积分

我有一个（二维）不正确的积分

I = \int_{A} \frac{W (x, y)}{F (x, y)} d x d y

$I=\int_A \frac{W(x,y)}{F(x,y)}\,\mbox{d}x\mbox{d}y$

其中积分的域小于，但通过进一步限制。由于和平滑且 $A$ $x=[-1,1]$ $y=[-1,1]$ $F(x,y)>0$ $F$ $W$ $W \ne 0$ 在边界处，后一种关系意味着被积物在边界处可以是奇异的。但是，被积数是有限的。到目前为止，我已经使用嵌套数值积分计算了该积分。这是成功的但很慢。我寻找一种更合适（更快）的方法来解决积分问题，也许是蒙特卡洛方法。但是我需要一个不将点放在非三次域A的边界上并且正确地接受不适当积分的极限的函数。积分转换可以帮助此一般表达吗？请注意，我可以解决为作为函数，甚至计算出的一些特殊功能，重量 $F(x,y)$ $y$ $x$ $I$ 。 $W(x,y)$

monte-carlo quadrature

— 高学历
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F (x, y) \neq 0

$F(x,y) \ne 0$

A

$A$

F (x, y)

$F(x,y)$

GSL算法QAGS：gnu.org/software/gsl/manual/html_node/…。感谢您的编辑（看不到排版方程式的选项）！

— highsciguy 2012年

Answers:

免责声明：我写了关于自适应正交的博士学位论文，因此这个答案将严重偏向我自己的工作。

GSL的QAGS是旧的QUADPACK积分器，并且并不完全健壮，尤其是在存在奇点的情况下。这通常导致用户要求的准确度远远超出其实际需要，因此使集成变得非常昂贵。

如果您使用的是GSL，则可能需要尝试本文所述的我自己的代码CQUAD。它旨在处理间隔边缘和域内的奇异性。请注意，误差估计非常可靠，因此仅要求您实际需要的数字即可。

关于蒙特卡洛集成，这取决于您要寻找的精度。我也不太确定它在奇异点附近的效果如何。

— 佩德罗
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我一定会看一下它，因为它最容易实现。实际上，我体验到QAGS例程对于此问题并不是非常稳定。

— highsciguy 2012年

有没有办法影响'GSL_EDIVERGE'的发生？它似乎出现了一些参数。

— highsciguy 2012年

@highsciguy：如果算法认为积分不是有限的，则返回GSL_EDIVERGE。如果您能给我一个失败的例子，我可以仔细看一下。

— 佩德罗（Pedro）2012年

隔离一个简单的例程有点困难，因为它被嵌入到n维积分的通用代码中。我会看到...但是对于固定的y，因为x接近F（x，y）的零，所以自F（x，y）以来，1 / sqrt（F（x，y））的行为应类似于1 / sqrt（x）。然后可以写成x的多项式。但可能是1 / sqrt（x）行为开始得很晚。也可能是被整数的数字精度不太好。

— highsciguy 2012年

@highsciguy：是的，这是一个坏主意。大多数正交规则都假定被积物具有一定程度的平滑度，如果将其设置为任意点的零，则会引入不连续性。如果使用实际间隔，您将获得更好的结果！

— 2012年

除非具有高维积分，而蒙特卡罗方法无法承受具有该维的正交点的组合爆炸，否则通常无法与自适应正交竞争。

$\int_{[0,1]^n} f(x)\; d^nx$ $n$ $M$ $M^n$ $k$ $N=(kM)^n$ $k$ $(2k-1)$ $e = {\cal O}(h^5)={\cal O}(M^{-(2k-1)})$

e = O (N^{- (2 k - 1) / n}) .

$e = {\cal O}(N^{-(2k-1)/n}).$

e = O (N^{- 1 / 2})

$e = {\cal O}(N^{-1/2})$

k > n / 4 + 1 / 2

$k>n/4+1/2$

$k\le 8$ $n=30$ $M=1$ $N=8^{30}$ 集成点，这是您一生中无法评估的。换句话说，只要您可以评估足够的集成点，对集成域的细分进行正交总是最有效的方法。在某些情况下，您拥有一个高维积分，即使人们对单个积分细分的积分点的收敛阶次较差，也无法再使用这些积分来评估积分点。

— 沃尔夫冈·邦格斯
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尝试嵌套的双指数正交函数（请参见Ooura的实现）。该技术使用变量变换，使变换后的被积数在边界处表现得非常平滑，并且非常有效地处理边界处的奇点。在他的网站上，关于DE正交的参考文献列表也非常好。

— GertVdE
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