在什么情况下，蒙特卡洛积分比准蒙特卡洛积分更好？

一个简单的问题：做一个多维积分，假设已经确定某种蒙特卡罗方法是合适的，那么使用伪随机数的常规MC积分相对于使用准随机序列的准蒙特卡洛积分有何优势？ ？如果是这样，我将如何认识到发挥这种优势的情况？（如果没有，为什么有人会使用普通的旧蒙特卡洛积分？）

蒙特卡洛模拟是计算电子散射的首选方法。有时会使用重要性采样之类的技巧，因此您可能会说这不是普通的老蒙特卡洛。但主要要点可能是，这里模拟了一个固有的随机过程，而您只问有关使用蒙特卡洛进行积分的问题。

因为没有其他人试图提供答案，所以让我尝试扩大我的答案。假设我们有一个电子散射模拟，其中只计算了一个数字，例如反向散射系数。如果我们将其重新表示为多维积分，则可能是无限维积分。另一方面，在模拟单个轨迹期间，仅需要有限数量的随机数（如果考虑到二次电子的产生，该数字可能会变得非常大）。如果我们要使用类似拉丁超立方体采样的准随机序列，则必须使用具有固定数量维的近似值，并为每个采样点的每个维生成一个随机数。

因此，我认为区别在于是否对某种高维单位超立方体进行了采样，而不是围绕原点的无限维概率云。

我的一些研究涉及求解大型随机偏微分方程。在这种情况下，对于感兴趣的积分，传统的蒙特卡洛逼近法收敛太慢，以至于在实际意义上不值一提……即我不想为了获得更高的小数点而不得不运行100倍的模拟量到积分。相反，我倾向于使用其他方法，例如稀疏smolyak网格，因为它们在较少的函数评估中提供了更高的准确性。这仅是因为我可以假定函数具有一定程度的平滑度。

可以合理地推测，如果您期望要集成的功能具有特定的结构（例如平滑度），则最好使用可利用该功能的准蒙特卡洛方案。如果您真的不能对该功能做出太多假设，那么monte carlo是我能想到的唯一处理该功能的工具。

传统的蒙特卡洛集成了准蒙特卡洛积分的优势在Kocis讨论和美白的论文在这里。他们列出了以下原因：

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  不幸的是，现有序列的理论差异范围不适用于s的中值和大值。另一种选择是对一个大的s序列的星号差异进行数值评估，这需要大量的计算工作，并且甚至很难获得这种差异的合理数值估计。

  使用传统的蒙特卡洛集成，我们可以指定错误目标并等待，因为错误界限很容易计算。使用QMC，我们必须指定许多功能评估，并希望错误在我们的目标之内。（请注意，有一些技术可以克服此问题，例如随机准蒙特卡洛法，其中使用了多个准蒙特卡洛法估计来估计误差。）

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• 为了使准蒙特卡洛击败传统蒙特卡洛，被积物必须具有“低有效尺寸”。看到这个题目艺术欧文的纸在这里。