线性约束的绝对值

我有以下优化问题，在约束中我具有绝对价值：

令和为大小均为列向量。我们想解决以下问题： $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{f}_0, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_m$$n$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} &|\mathbf{f}_1^T \mathbf{x}| \leq |\mathbf{f}_2^T \mathbf{x}| \leq \ldots \leq |\mathbf{f}_m^T \mathbf{x}| \end{align}$$

我知道可行的空间不会很凸，因此我可能需要一个MILP来解决问题。我正在寻找所需数量最少的二进制变量以及可以解决该问题的设置。

当不平等的只有一侧具有绝对值时，处理绝对值通常很容易（http://lpsolve.sourceforge.net/5.1/absolute.htm）；但是，这种情况似乎更为复杂。

先感谢您。

最简单的方法是添加二进制值，然后求解$m$$s_i \in {0,1}$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} & 0 \le (2s_i-1) \mathbf{f}^T_i \mathbf{x} \le (2s_{i+1}-1) \mathbf{f}^T_{i+1} \mathbf{x} & \forall i\end{align}$$

我认为要么（1）根本没有更快的速度存在，要么（2）有一个特殊的技巧可以将其重新构造为凸程序。可能是（1）。

您可以使用求解器解决不平滑的问题。参见http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsm