数值稳定性的启发式检查

假设我有一个实值函数，其中有一些变量x i，我想对其进行数值计算。通常，f的公式可以包含乘积，有理数，超越函数等，并且需要很长时间才能通过分析研究其数值稳定性。否则在实践中至少会很费时间。假设我没有比以前更短的保证稳定性。有没有方法可以分析f的数值稳定性$f(x_1,\ldots ,x_N)$$x_i$$f$$f$。我想将其与使用计算机代数系统获得的任意精确结果进行比较。假设该函数将使用stdlib函数和单精度或双精度在C中实现。我应该比较哪些数量来量化有限精度下的近似质量？如何确定变量的临界值？如何选择编译器和编译器优化，以便其他人可以轻松重现结果？...我知道问题的解决方法可能是通用的，可以给出很好的答案。但是我仍然认为这是计算机科学中的普遍问题，并且想知道是否有参考文献提出了进行此类分析的标准。

您正在寻找的是所谓的“自动错误分析”，它是Higham的书“数值算法的准确性和稳定性”（SIAM出版商第二版）第26章的主题。

他描述的一种技术是使用直接搜索优化：尝试将问题表达为优化问题，并使用优化算法查找系数或参数值，以最大化或最小化与算法/公式精度相关的数量。他以高斯消除中的增长因子为例（矩阵使该增长因子最大化）或三次方的根（正如我在您之前的一个问题中回答的那样）。

我建议您获得本书的副本，阅读介绍性章节和本章26及其中的参考文献。

$\pm 1$

$x$$\pm1$$1/x$$x=0$$1/(1-x)-1/(1+x)$$x=0$